Encuentra la condición de que las diagonales de un paralelogramo estén formadas por $ax+by+c=0$.

Question

Encuentra la condición para que las diagonales de un paralelogramo formado por $ax+by+c=0$, $ax+by+c'=0$, $a'x+b'y+c=0$ y $a'x+b'y+c'=0$ estén en ángulos rectos.

Mi intento:

La ecuación de la diagonal que pasa por el punto de intersección de $ax+by+c=0$ y $a'x+b'y+c=0$ es $$(ax+by+c)+ K(a'x+b'y+c)=0$$ Donde $K$ es cualquier constante arbitraria.

Nuevamente, la ecuación de la diagonal que pasa por el punto de intersección de $ax+by+c=0$ y $a'x+b'y+c'=0$ es $$(ax+by+c)+L(a'x+b'y+c')=0$$ Donde $L$ es cualquier constante arbitraria.

¿Cómo completo el resto?

Answer 1

Para dos líneas paralelas en el plano $xy$ dadas por las ecuaciones

\begin{align*} Ax+By+C_1 = 0\\[4pt] Ax+By+C_2 = 0\\[4pt] \end{align*}

la distancia entre ellas está dada por la fórmula

$$\frac{\left|C_2 - C_1\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

(ver https://en.wikipedia.org/wiki/Distance_between_two_straight_lines)

Pero dado un paralelogramo,

$$\text{las diagonales son perpendiculares}$$ $$\text{si y solo si}$$ $$\text{el paralelogramo es un rombo}$$ $$\text{si y solo si}$$ $$\text{la distancia entre los pares de lados opuestos son iguales}$$

Aplicando lo anterior a las líneas especificadas para los bordes de tu paralelogramo, obtienes

$$ \frac{\left|c - c'\right|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{\left|c - c'\right|}{\sqrt{(a')^2+(b')^2}}$$

lo cual da como resultado la condición

$$a^2+b^2 = (a')^2+(b')^2$$

Answer 2

$ax+by+c=0$ ...(1)

$a'x+b'y+c=0$ ...(2)

$ax+by+c'= 0$ ...(3)

$a'x+b'y+c'=0$ ...(4)

Que P sea la intersección de (1) y (2)

La ecuación de una línea que pasa por P está dada por

$ ax+by+c +K(a'x+b'y+c) = 0$ ...(5)

Que R sea la intersección de (3) y (4) para el cual $ ax+by=-c'$ and $a'x+b'y=-c'$

Sustituyendo en (5) $(c-c')+K(c-c') = 0$ o, $K = -1 $

Por lo tanto, de (5), $(a-a')x+(b-b')y=0$ ...(6). Esta es la ecuación de la diagonal PR.

Que S sea la intersección de (1) y (4)

La ecuación de una línea que pasa por S está dada por

$ax+by+c + L(a'x+b'y+c') = 0 $ …….(7)

Que Q sea la intersección de (2) y (3) para el cual $ax+by = -c'$ y $a'x+b'y = -c$

Sustituyendo estos en (5) $c-c'+L(c'-c) = 0$ o, $L=1 $

Sustituyendo en (7), $(a+a')x+(b+b')y+c+c'=0$ ...(8). Esta es la ecuación de la diagonal QS.

Ahora la pendiente de PR es $$\frac{-(a-a')}{(b-b')}$$

La pendiente de QS es $$\frac{-(a+a')}{(b+b')}$$

Dado que las diagonales son perpendiculares, Producto de pendientes=$$\frac{-(a-a')}{(b-b')}*\frac{-(a+a')}{(b+b')} = \frac{a^{2}-a'^{2}}{b^{2}-b'^{2}}=-1$$

Por lo tanto ${a^{2}+b^{2}}={a'^{2}+b'^{2}}$