Aplicación del teorema de Picard-Lindelöf a una EDO de segundo orden

Question

Intento encontrar la solución del siguiente PIV y demostrar su unicidad aplicando el teorema de Picard-Lindelöf.

$$ y''+x^2y'+xy=0,\\ y(0)=y'(0)=0 $$

He utilizado el teorema en algunos problemas que he resuelto, pero aquí el segundo orden me confunde. Sé dos cosas:

1. Para aplicar el teorema , mi ecuación tiene que ser de la siguiente forma : $g'(x)=f(x,g)$
2. Estableciendo $y'(x)=g(x)$ Puedo convertir esto en un sistema de primer orden : $$y'(x)=g(x)\\g'(x)+x^2g(x)+xy=0$$

Ahora puedo escribir la nueva ecuación así:

$$g'(x)=-x^2g(x)-xy\ \implies g'(x)=f(x,g,y)$$

Debido a la ' $y$ Este no es el formulario que busco. ¿O no? Sé que $y$ es función de $x$ ¿es correcto escribir lo siguiente? $$g'(x)=f(x,g,y(x))=f(x,g)$$

Normalmente seguiría y demostraría que f es continua y Lipschitz en $x,g$ . ¿Qué debo hacer en este caso? ¿Tengo que demostrar que f es continua y Lipschitz en $y$ ¿también?

Answer 1

Creo que debería ser así \begin{align} y'(x)&=g(x)\\ g'(x)&=-x^2g(x)-xy(x) \end{align} Con $v(x) = (y(x),g(x))^T$ como vector en $\mathbb R^2$ obtenemos $$ v'(x) = f(x,v(x)) = f(x,g(x),y(x)) = A(x)v(x) $$ donde $A(x)$ es la matriz $$ A(x) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -x & -x^2 \end{pmatrix} $$ La función $f(x,v(x))$ es Lipshitz en el segundo argumento.