¿Puede alguien explicar la relación antisimétrica frente a simétrica de los conjuntos?

Question

Si $$A = \{1,2,3,4\} $$ y $$R = \{(3,3), (4,4), (1,4)\}$$

Este ejemplo es antisimétrico pero no simétrico.

Sin embargo, la definición de antisimétrico tomada de Merriam-Webster es la siguiente:

relativo a o que es una relación (como "es un subconjunto de") que implica la igualdad de dos cantidades cualesquiera para las que es válida en ambas direcciones (la relación R es antisimétrica si aRb y bRa implica a = b)

Por favor, perdonen mi ignorancia, pero estoy increíblemente confuso con la definición. Obviamente me equivoco, pero me sugiere que hay/debería haber un (4,1) en R. Sin embargo, si hubiera un (4,1) en R eso haría que R fuera simétrico y no antisimétrico.

He encontrado una pregunta anterior que preguntaba algo parecido pero se respondía con el uso de Digraphs. Me hizo entender cómo identificar relaciones antisimétricas, pero sigo sin entender el concepto central.

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Estás cometiendo un error muy común, un error que probablemente incluso conozcas en términos abstractos, pero que es difícil reconocer cuando aparece en la vida real. (Especialmente cuando la redacción es tan enrevesada como en MW; eso es un trabajo realmente chapucero por su parte, en mi opinión). Intentando mantener tantas palabras de la definición original como sea posible, la reescribiré para que la lógica sea más clara:

Una relación se denomina antisimético cuando la siguiente afirmación sea cierta:

• Si la relación se mantiene en ambas direcciones para dos cantidades, entonces las dos cantidades son iguales.

Añadiendo algunos símbolos, se puede reescribir la viñeta:

• Si $(a,b)\in R$ y $(b,a)\in R$ , entonces $a=b$ .

Su pregunta equivale a: "Sé que $(4,1)\in R$ y sé $R$ es antisimétrica, ¿por qué no lo es $(1,4)\in R$ ?".

Espero que la respuesta esté un poco más clara ahora: el punto no dice nada en absoluto sobre lo que ocurre si todo lo que sabes es $(a,b)\in R$ . (No has cumplido las dos partes de la condición, así que la viñeta no te dice nada).