Estoy tratando de entender exactamente cómo funciona esto. Estoy siguiendo este procedimiento hasta que muestra las segundas equivalencias. Por ejemplo, ¿por qué $\mathbb{Z}_{2^3}\times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{3} \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_{24}$ ? Además, ¿por qué no es isomorfo a $\mathbb{Z}_{48}$ ¿o cualquiera de los otros productos del lado derecho de la segunda equivalencia?
$48=2^4×3$ . El número de particiones de $4$ es $5$ . Son $$1+1+1+1, 1+1+2,2+2,1+3,4$$ .
Apliquemos ahora el teorema de la estructura. Implica (junto con el teorema chino del resto) el resultado general de que si $n$ tiene factorización prima $p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ entonces el número de grupos abelianos de orden $n$ es $p(a_1)p(a_2)\cdots p(a_k)$ donde $p(x)$ es el número de particiones de $x$ .
Tengo que asumir que el "Teorema 51" es el clasificación de grupos abelianos finitos . Si recordamos, esto dice que
Todo grupo abeliano finito puede escribirse como una suma directa de grupos cíclicos de orden de potencia primo
$$ \bigoplus_\alpha \mathbb{Z} \big / p_\alpha^{k_\alpha} \mathbb{Z}$$
Además, esta descomposición es única hasta isomorfismo (no canónico)
Así que empecemos poco a poco. Si queremos entender todos los grupos abelianos de tamaño $12$ podemos factorizar $12 = 2^2 \cdot 3$ . Ahora hay dos maneras de conseguir todos estos poderes primos:
La cláusula de "unicidad" de la clasificación nos dice que estas descomposiciones son pas isomorfo. Por supuesto, también podemos verlo directamente: esta última tiene un elemento de orden $4$ mientras que el primero no. Por tanto, ¡no pueden ser isomorfas!
Veamos otro ejemplo. ¿Cuáles son los posibles grupos abelianos de orden $2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$ ?
Bueno, tenemos que tener $3$ copias de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ de alguna manera. Podemos hacerlo como
(¿ves por qué?)
Entonces tenemos que tener $2$ copias de $\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}$ . Podemos hacerlo
Por último, tenemos que tener $1$ copia de $\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z}$ y sólo hay una manera de hacerlo
En total, esto nos da $6$ grupos de este orden (de nuevo, ¿ves por qué?)
En general, entonces, ¿cómo averiguar todos los posibles grupos abelianos de orden $n$ ?
En cuanto a su pregunta de seguimiento, "¿por qué es $\mathbb{Z} / 8 \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z} / 24 \mathbb{Z}$ ". La respuesta es la Teorema chino del resto .
Espero que esto ayude ^_^
El hecho que necesitas es el Teorema Chino del Resto: si $(m,n)=1$ entonces $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . He aquí una prueba rápida: tenemos un mapa $\pi: \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ dado por $\pi(a)=(\bar{a}, \bar{b})$ . Claramente $mn\mathbb{Z}\subset \ker\pi$ . Por el contrario, si $x\in\ker\pi$ entonces $x$ es divisible por $m$ y $n$ . Desde $m$ y $n$ son coprimos, $x$ debe ser divisible por su producto $mn$ . Así $mn\mathbb{Z}=\ker\pi$ . Ahora basta con demostrar que $\pi$ es suryectiva. Sea $(\bar{r},\bar{s})\in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . Desde $m$ y $n$ son coprimos, podemos utilizar la identidad de Bezout para encontrar $p,q\in\mathbb{Z}$ para que $pm+qn=1$ Entonces $\pi(spm+rqn)=(\bar{r},\bar{s})$ .
Podemos utilizar el Teorema del Resto Chino para establecer algunos de estos isomorfismos que estás viendo. Por ejemplo $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$ ya que 8 y 3 son coprimos.
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