Unicidad del complemento de un subespacio vectorial

Question

Sabemos que, en general, si $X$ es un espacio vectorial y $Y, Z, W$ son subespacios tales que $X=Y\oplus Z$ y $X=Y\oplus W$ entonces puede que no sea cierto que $Z=W$ .

Pero si se nos da además que $Z\subseteq W$ entonces esto debería ser cierto. Una prueba que se me ocurre es la siguiente: Sea $w\in W$ . En $X=Y\oplus Z$ obtenemos $w = y+z$ para algunos $y \in Y$ y $z \in Z \subseteq W$ . Pero también $X=Y\oplus W$ y $w=0+w$ por lo que la unicidad de la descomposición obliga a $y=0,z=w$ de donde $w=z \in Z$ . Así que $W \subseteq Z$ y la igualdad sigue.

De alguna manera, creo que tal vez debería haber una manera más limpia y directa de ver que $W=Z$ pero no he sido capaz de encontrar uno.

Mi pregunta es: ¿Hay alguna otra forma de que esto se vea de forma más directa?

Editar : Quizás debería haber añadido que estos espacios podrían ser infinitamente dimensionales.

Answer 1

Su argumento es sólido, pero puede racionalizarse un poco.

Lo que tiene que demostrar es que $W\subseteq Z$ . Así que toma $w\in W$ ya que $X=Y\oplus Z$ se puede escribir $$ w=y+z $$ con $y\in Y$ y $z\in Z$ Sin embargo $z\in W$ Así que $y=w-z\in W$ y por lo tanto $y=0$ .

Answer 2

Podemos utilizar la dimensión si $Z$ es de dimensión finita, tenemos $dim(Z)=dim(X)-dim(Y)=dim(W)$ y $Z\subset W$ así que $$ Z=W $$