Para un $n$ -pasos simétricos de paseo aleatorio simple (inicio en el origen 0 y cada paso 1 unidad hacia la izquierda o la derecha con igual probabilidad,) un hecho interesante es que la probabilidad de que se detenga exactamente en $r$ es igual a la probabilidad de que en todo el recorrido no se haya alcanzado $r+1$ pero has estado en $r$ . ¿Hay una forma intuitiva de ver esto? Aquí, $n$ y $r$ son números pares positivos.
Respuesta
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Martin OConnor
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Dejemos que $M_n$ denotan la distancia máxima a la derecha alcanzada por el paseo. Sea $X_n$ denota la posición final del paseo aleatorio. La pregunta pide una explicación intuitiva de por qué $P(M_n = r) = P(X_n = r)$ .
Creo que es más intuitivo mirar por qué $P(M_n \geq r) = P(X_n \geq r) + P(X_n \geq r+1)$ primero. Los paseos con $M_n \geq r$ pueden dividirse en dos categorías, según el punto $s$ donde terminan: (1) $s \geq r$ y (2) $s < r$ . En este último caso, se puede tomar la parte del camino después del primer paso que llega a $r$ y reflejarlo a través del punto $r$ para que termine en un nuevo punto $s' > r$ . Este es el principio de reflexión que mike menciona en un comentario, y el proceso es reversible. Dado que todo camino que llega a un punto $s \geq r$ debe tener $M_n \geq r$ tenemos $$P(M_n \geq r) = P(X_n \geq r) + P(X_n \geq r+1).$$
Ahora, a la pregunta del OP. $$\begin{align*} P(M_n = r) &= P(M_n \geq r) - P(M_n \geq r+1) \\ &= P(X_n \geq r) + P(X_n \geq r+1) - P(X_n \geq r+1) - P(X_n \geq r+2) \\ &= P(X_n = r) + P(X_n = r+1). \end{align*}$$ Desde $n$ es par, el paseo no puede detenerse en un número impar. Dado que $r$ también es par, esto significa que $P(X_n = r+1) = 0$ (como también menciona Mike en un comentario). Por lo tanto, $$P(M_n = r) = P(X_n = r).$$
