Conjetura de Fekete sobre las aplicaciones repetidas de la función tangente

Question

Una estudiante de secundaria llamada Erna Fekete me hizo una conjetura por correo electrónico hace tres años, que no pude responder. Desde entonces he perdido el contacto con ella. Repito aquí su interesante conjetura, por si alguien puede aportar información actualizada información actualizada al respecto.

Así es como lo ha expresado. Deje que $b(0) = 1$ et $b(n)= \tan( b(n-1) )$ . En otras palabras, $b(n)$ es la aplicación repetida de $\tan(\;)$ a 1: $$\tan(1) = 1.56, \; \tan(\tan(1)) = 74.7, \; \tan^3(1) = -0.9, \; \ldots $$

Dejemos que $a(n) = \lfloor b(n) \rfloor$ . Su conjetura es:

Todos los enteros acaban apareciendo en el $a(n)$ secuencia.

Esta secuencia no es desconocida; es es A000319 en las secuencias enteras de Sloane. Esencialmente la suya es una pregunta sobre la órbita de 1 bajo repetidas $\tan(\;)$ -aplicaciones. Sus investigaciones y las mías de entonces nos llevaron a creer que era un problema abierto.

Answer 1

Yo había hecho la misma conjetura que Fekete, al parecer por la misma época: mediados de 2007. En 2008 verifiqué que los primeros veinte millones de términos no incluyen el 319. (De hecho, llevé la verificación más allá, pero no puedo encontrar los registros más recientes en este momento).

Porque $\tan(x) - x = x^3/3 + O(x^5)$ la función pasa gran parte de su tiempo en un pequeño barrio alrededor de $0$ . Se escapa cuando se acerca $\pi/2$ y vuelve rápidamente por muchas iteraciones.

Un fenómeno, en su mayor parte inexplicable, presumiblemente relacionado con lo anterior: hay periodos largos de números pequeños seguidos de periodos cortos y "productivos" con números grandes. $\tan^k(1)$ está "por debajo de 20 o así" (según un correo electrónico de 2008 que envié) para $360110\le k\le1392490$ pero en los siguientes 2000 números hay cinco que están por encima de 20.

¡Se necesita más teoría!

Answer 2

Esto no es una prueba, sino que es demasiado largo para un comentario, y puede ser simplemente una reafirmación del problema.

Por contradicción, dejemos que $k$ sea cualquier número entero tal que $b(n) = k$ nunca se sostiene. Esto significa que $k \leq a(n) < k+1$ nunca se sostiene.

Desde $a(n)$ no puede estar entre $k$ et $k+1$ , $\arctan a(n)$ tampoco puede serlo.

Así, hay un intervalo entre $-\pi/2$ et $\pi/2$ que a(n) no puede tocar. Llamémoslo $[c,d)$ .

Ya que Tan es periódico, $a(n)$ también debe evitar $m\pi+[c,d)$ .

Desde $\pi$ es irracional, $m\pi+[c,d)$ debe contener un número infinito de enteros (estoy bastante seguro de que esto es cierto, pero podría estar equivocado).

Por lo tanto, hay un número infinito de intervalos (que se acercan a $\pi/2$ ) que $a(n)$ debe evitar. Además, $a(n)$ debe evitar los arctanes de esos intervalos, y los arctanes de esos intervalos, etc. Los intervalos arctanes repetidos se aproximan a 0.

Por supuesto, $a(n)$ también tiene que evitar esos intervalos más cualquier múltiplo de $\pi$ .

Esta no prueba se aplica en realidad a cualquier intervalo $a(n)$ falla, por lo que, de ser cierto, demuestra que $a(n)$ es denso en $\mathbb{R}$ . Espero que eso ayude.