Demostrar/Desmentir $f(z)=0$ sólo si $z=0$ para una serie de potencias $f$ sobre el centro $0$ con radio de convergencia $2$

Question

Q. Sea $f(z)$ sea una serie de potencias (con coeficientes complejos) centrada en $0 \in \mathbb{C}$ y con un radio de convergencia $2$ . Supongamos que $f(0)=0$ . Elija la(s) frase(s) correcta(s) de las que figuran a continuación:

(A) $f^{-1}(0)=\{0\}$

(B) Si $f$ es una función no constante en $\{z \in \Bbb C~:~|z|<2\}$ entonces $f^{-1}(0)=\{0\}$ ;

(C) Si $f$ es una función no constante, entonces para todo $\zeta \in \Bbb C$ con un $|\zeta|$ la ecuación $f(z)=\zeta$ tiene solución;

(D) $\int_\gamma f^{(n)}(z) d z=0$ para cada $n \geq 1$ donde $\gamma$ es un círculo unitario centrado en $0$ orientado en el sentido de las agujas del reloj, y $f^{(n)}$ es el $n^{\text{th}}$ derivado de $f(z)$ .

¿Cómo puedo confirmar $f(z)=0$ sólo si $z=0$ en la serie geométrica $\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}z^n$ , tengo primera opción es cierto, pero cómo generalizar. Opción D dice que todos los coeficientes de los términos es cero, creo que es imposible.

Answer 1

A y B: Ambos son falso . Podemos utilizar el mismo contraejemplo para ambas afirmaciones. Sea $f(z) = \frac{z(z-1)}{z-2}$ . Entonces $f(0) = f(1) = 0$ . También $f$ es holomorfa en el disco $|z| < 2$ pero tiene un polo en $z=2$ por lo que la expansión en serie de potencias en torno a $z=0$ tiene radio de convergencia = 2.

EDIT: Un comentario preguntaba por qué se deduce que la serie de potencias para $f$ en torno a $z=0$ tiene RoC=2. Es debido al hecho: " El radio de convergencia es siempre la distancia desde el centro a la singularidad no removible más cercana; si no hay singularidades (es decir, si $f$ es una función entera), entonces el radio de convergencia es infinito. " La prueba se incluye en este artículo de Wikipedia .

C: Esto es verdadero . Es el Teorema del mapa abierto . $f$ es holomorfa en una vecindad de $z=0$ por lo que el rango de $f$ es un conjunto abierto que contiene $0$ y, por tanto, la gama de $f$ incluye todos los puntos que están suficientemente cerca de $0$ .

D: Esto es verdadero . Es Teorema de Cauchy . Sabemos que $f$ es holomorfa en $|z|<2$ Así que $f^{(n)}$ también está definida y es holomorfa en ese disco, por lo que esta es exactamente la situación cubierta por ese teorema.