Este es el problema
Arregla b>1. Si $x$ es real, defina $B(x)$ el conjunto de todos los números $b^t$ donde $t$ es racional y $t\leq x$ . Demostrar que $$b^r=\sup B(r)$$ cuando $r$ es racional.
Así que básicamente sé exactamente lo que tengo que hacer. Sabemos que $b^r\in B(r)$ así que todo lo que queda es demostrar que para cualquier $t\leq r$ , $b^t\leq b^r$ . Parece bastante simple, pero yo sólo no puede averiguar cómo probar esto sin hacer todo tipo de preguntas. Todo lo que necesito es un lema que diga que para los racionales $r,r'$ y un número real $b>1$ , $b^r<b^{r'}$ implica $r<r'$ . Esto es tan obviamente cierto y, sin embargo, tan difícil para mí encontrar una manera de mostrar ¡!
El mejor intento hasta ahora ha sido el siguiente: supongamos que $b^r<b^{r'}$ . Podemos escribir $b^{r'}$ como $b^{r'-r+r}=b^{r'-r}b^r$ (Lo he demostrado en un problema anterior). Ahora dividiendo ambos lados por $b^r$ da $b^{r-r}<b^{r'-r}$ . Ahora realmente me gustaría tomar eso y decir que implica que $r-r<r'-r$ y entonces, claramente, he terminado. Pero hacer eso me incomoda. Siento que me estoy perdiendo un paso lógico allí - todo lo que realmente tengo que trabajar con un teorema que dice que los números reales positivos tienen única $n$ - raíces, y no veo cómo mi traslado allí se derivaría de eso.
¿Alguna idea? ¿Tal vez un enfoque diferente que podría tomar?
