¿Qué necesitas para definir un mapa de mónadas?

Question

Supongamos que tengo una mónada $M_S = \langle S , \eta_S, \mu_S \rangle$ y un mapa de mónadas dado por una transformación natural $\phi: T \rightarrow S$ . ¿Cuáles son las transformaciones naturales de la mónada resultante?

$$\langle S , \eta_S, \mu_S \rangle \rightarrow \langle T , ?, ? \rangle $$

Estoy mirando Calle 72 y en él define un functor mónada. Estoy utilizando este documento para obtener mi definición de un mapa de mónada diciendo que el functor $U$ es la identidad.

Edito: alguien dice ahora que tengo que rellenar las transformaciones naturales de la mónada imagen, así

$$\langle S , \eta_S, \mu_S \rangle \rightarrow \langle T , \eta_T, \mu_T \rangle $$

Entonces, ¿por dónde empezamos a la hora de definir un mapa de mónadas? ¿Decimos que tenemos dos mónadas y SI tenemos una transformación natural $\phi$ como arriba, ¿tienes un mapa de mónadas?

Answer 1

La siguiente definición aparece en Topos, triples y teorías por Barr y Wells Sección 3.6 (página 110), así como en Morfismos densos de mónadas por Karazeris y Velebil Sección 2.1 (página 4).

Definición 1. Sea $(T, _T, _T)$ y $(S, _S, _S)$ sean dos mónadas sobre una categoría $\mathcal{C}$ . Un morfismo de mónadas de $(T, _T, _T)$ a $(S, _S, _S)$ es una transformación natural $$ de $T$ a $S$ tal que los dos diagramas siguientes conmutan: $$ \require{AMScd} \begin{CD} T @>{}>> S \\ @A{_T}AA @AA{_S}A \\ \mathrm{Id} @= \mathrm{Id} \end{CD} \qquad\qquad \begin{CD} T^2 @>{}>> S^2 \\ @V{_T}VV @VV{_S}V \\ T @>>{}> S \end{CD} $$

Aquí la transformación natural $ $ viene dada por $ S T $ o, de forma equivalente $S T$ .

Esta definición sólo trata de mónadas sobre la misma categoría. Para mónadas en dos categorías diferentes, se puede utilizar lo siguiente:

Definición 2. Sea $(T, _T, _T)$ sea una mónada sobre una categoría $\mathcal{C}$ y que $(s, _S, _S)$ sea una mónada sobre una categoría $\mathcal{D}$ . Un morfismo de mónadas de $(T, _T, _T)$ a $(s, _S, _S)$ consiste en un functor $F \colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ y una transformación natural $ \colon SF \Rightarrow FT$ tal que los dos diagramas siguientes conmutan: $$ \begin{CD} SF @>{}>> FT \\ @A{_S F}AA @AA{F _T}A \\ F @= F \end{CD} \qquad\qquad \begin{CD} S^2 F @>{S}>> S F T @>{T}>> F T^2 \\ @V{_S F}VV @. @VV{F _T}V \\ S F @>{}>> T F @= F T \end{CD} $$

La primera definición es un caso especial de la segunda, al considerar para $F$ el functor de identidad.

Las definiciones anteriores se aplican a las mónadas sobre categorías. Sin embargo, la noción de mónada puede generalizarse a objetos en $2$ -sustituyendo categorías por objetos, funtores por morfismos y transformaciones naturales por $2$ -morfismos. (En lugar de "objetos", "morfismos" y " $2$ -morfismos" también se pueden utilizar los términos " $0$ -células", " $1$ -células" y " $2$ -células"). La noción anterior de mónada en una categoría es entonces la misma que la de mónada en la categoría $2$ -categoría $\mathsf{Cat}$ .

Las definiciones 1 y 2 también pueden aplicarse a las mónadas en $2$ -categorías. Las definiciones resultantes de morfismos entre mónadas en $2$ -se pueden encontrar categorías en el nLab así como en Teoría formal de las mónadas por Ross Street que ya se mencionaba en la pregunta.