¿Qué es el $\sigma$ -generada por $\mathcal{A}_0:=\{A\subset\mathbb{N}\mid A\text{ finite or } A^c \text{ finite}\}$ ?

Question

Sea $\mathcal{A}_{0}:=\{A\subset\mathbb{N}\mid A\text{ finite or } A^c \text{ finite}\}$ y $\mu:\mathcal{A}_0\to[0,\infty]$ definido como $\mu(A)=|A|$ . Entonces, ¿cuál es el $\sigma$ -generada por $\mathcal{A}_0$ ? Y, ¿cuál es la medida obtenida al extender $\mu$ en $\mathcal{A}=\sigma(\mathcal{A}_0)$ ?

La teoría que he aprendido hasta ahora me sugiere construir el menor $\sigma$ -que contiene $\mathcal{A}_0$ pero sólo sé hacerlo para una colección finita de subconjuntos. Intenté encontrar un método general en internet pero no encontré nada útil ya que no estoy muy versado en la teoría de ordinales. Pero también encontré esto artículo útil pero no sé qué $A_{i,j}$ en este caso y cómo encontrar una medida extendida utilizándola.

¿Podría alguien ayudar a entender esos o hay alguna construcción simple para la $\sigma$ -álgebra en este caso?

Answer 1

Todo conjunto único $\{n\}$ está en $\mathcal A_0$ y todo subconjunto de $\mathbb N$ es una unión contable de singletons. Por lo tanto, $\mathcal A$ es el conjunto de potencias de $\mathbb N$ . Por aditividad contable de las medidas se deduce que la medida extendida tiene $\mu (A)=|A|$ si $A$ es un conjunto finito y $+\infty$ si $A$ es un conjunto infinito. Esta es la llamada medida de recuento en $\mathbb N$ .