Sea $a;b\ge 0$ . Demostrar que la desigualdad $$\frac{2ab}{a+b}+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge \sqrt{ab}+\frac{a+b}{2}$$
Mi intento: $LHS-RHS=\frac{2ab}{a+b}-\frac{a+b}{2}+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}-\sqrt{ab}\ge 0$
O $-\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)}+\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{ab}\right)}\ge 0$
O $\left(a-b\right)^2\left(\frac{1}{2\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{ab}\right)}-\frac{1}{2\left(a+b\right)}\right)\ge 0$
Entonces no puedo probar $\frac{1}{2\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{ab}\right)}\ge \frac{1}{2\left(a+b\right)}$
He elevado al cuadrado los dos lados de la desigualdad, pero la exponencial es difícil de resolver. Y puedo ver $HM+QM\ge AM+GM$ con $n=2$ por lo que es cierto para $n=i$ ?