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Mapas conformes sobre el disco unitario en $\mathbb{C}$

Estoy interesado en encontrar fórmulas explícitas para (mejor aún, caracterizar) funciones conformes de varios dominios sobre el disco unitario abierto $\mathbb{D}\subset\mathbb{C}$ y en la comprensión de las ideas clave necesarias para establecer dichas funciones.

En concreto, ¿qué puede $f$ cuando $f:G\to\mathbb{D}$ es conforme y

(1) $G=\{x+iy~|~x,y>0\}$ es el primer cuadrante abierto.

(2) $G=\{x+iy~|~x>0,~0<y<1\}$ es una franja horizontal abierta en el primer cuadrante.

(3) $G=\{z\in\mathbb{C}~|~\frac{1}{2}<|z|<1\}$ es un anillo.

(4) $G=\mathbb{D}\cap\{|z-\frac{1}{2}|>\frac{1}{2}\}$ es otra cosa (¿toro?).

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Grzenio Puntos 16802

Ya que no has mostrado demasiados pensamientos propios, aquí tienes sólo algunas pistas. Por conformal Comprendo biholomorfo .

  1. Primera toma $f(z) = z^2$ para mapear el cuadrante de forma biholomórfica en el semiplano superior, y luego componer con el Transformación de Cayley $\kappa(z) = \frac{z-i}{z+i}$ para conseguir $\kappa(f(z)) = \frac{z^2-i}{z^2+i}$ .

  2. Mira $\cos{(z)}$ y modificarlo adecuadamente.

  3. Imposible, ya que $G$ no es simplemente conectado .

  4. Mapa de la región $G$ a la franja entre dos líneas paralelas mediante una transformación de Möbius enviando $1$ hasta el infinito (por ejemplo, utilizando la transformación inversa de Cayley). A continuación, utilice la función exponencial.

Esto debería ser suficiente para encontrar las soluciones.

Para conocer la relación precisa entre "conforme" y "analítico", así como para las explicaciones sobre cómo encontrar dichos mapas, le remito a Ahlfors o (probablemente, nunca lo he leído) Needham o cualquier texto decente sobre análisis complejo que trate el mapeo conforme.

La caracterización de los biholomorfismos entre regiones simplemente conectadas es esencialmente el contenido de la Teorema del mapa de Riemann .

A veces, los mapeos biholomórficos entre regiones poligonales y el disco unitario pueden calcularse mediante la Fórmula Schwarz-Christoffel pero, por lo general, conduce a integrales elípticas que no se puede resolver explícitamente en términos elementales.


Añadido:

Como la solución de la 4. es un poco más complicada, he aquí un esquema bastante detallado:

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $G$ es la región comprendida entre los círculos $\{|z| = 1\}$ y $\{|z - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}\}$ . Aplicando la transformación de Möbius (= la transformada inversa de Cayley) $\kappa^{-1}(z) = i\frac{1+z}{1-z}$ envía $G$ a la franja horizontal $\{0 \lt \operatorname{Im}{z} \lt 1\}$ . Para ver esto, mira esta imagen de Wikipedia ilustrando la transformada de Cayley:

Cayley transform

Por último, la función exponencial $g(z) = \exp{(\pi z)}$ envía esta franja al plano medio superior. Componiendo esto con la transformada de Cayley obtenemos el mapa biholomorfo $h = \kappa \circ g \circ \kappa^{-1}: G \to \mathbb{D}$ .

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user786 Puntos 552

¿Para qué sirve ese inductor?

Como señalas, el inductor conecta la red de alimentación de la placa base a una entrada de alimentación de corriente continua del uC.

El propósito del inductor es asegurarse de que la entrada al pin AVCC es realmente dc; incluso si hay algo de ruido en la red principal de +5V.

Por ejemplo, a medida que la lógica digital del uC cambia de estado, se producen impulsos de corriente en el pin VCC. Esto hará que la red de +5V tenga pequeñas variaciones de tensión. El inductor aísla el pin AVCC para que estas ondulaciones no lo afecten.

Si sustituyes el inductor por un cortocircuito, es posible que veas algo más de ruido en las lecturas del ADC realizadas en las entradas analógicas del uC.

Editar

En primer lugar, me di cuenta de que esta es una placa de una sola cara, y mirando los archivos en el sitio web de SSA parece que esto ha causado algunos compromisos en el diseño --- en particular la falta de una tierra sólida y planos de potencia. Con esto en mente, si quieres usar las entradas analógicas, probablemente sea una buena idea tener algún tipo de inductor aquí. Si fuera por mí, también añadiría algunos condensadores de mayor valor (digamos 1 uF y 10 uF) en paralelo con C3 y C6... pero eso podría no ser realista por razones mecánicas.

27 uH, +/-10%. ¿Es un reemplazo lo suficientemente bueno para L1?

La placa debería ser totalmente funcional si se utiliza esta pieza. Sin duda valdría la pena construirla así y probarla.

Si ves un ruido excesivo (más de lo que tu aplicación puede permitir) en las entradas analógicas, entonces deberías trabajar más para encontrar un inductor de 100 uH. O bien, para una rápida chapuza, conecta dos (o más) de tus piezas de 27 uH en serie.

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