El cierre del interior de un conjunto convexo cerrado con interior no vacío es el propio conjunto.

Question

Sea $X$ sea un subconjunto convexo cerrado de $\mathbb{R}^n$ con $intX\neq\emptyset$ . Entonces $X=\overline{intX}$ .

He aquí la idea: observe que $X=\overline X=X\cup \partial X = intX \cup \partial X \cup I$ donde $I$ es el conjunto de todos los puntos aislados de $X$ . Pero un conjunto convexo con más de un punto no tiene puntos aislados, por lo que $X = intX\cup \partial X=intX\cup \partial (intX)=\overline{intX}.$

Para que esto sea completo necesitamos demostrar que bajo nuestras condiciones $\partial X=\partial (intX)$ pero como $\partial X\supset\partial(intX)$ es cierta para cualquier conjunto en cualquier espacio topológico, sólo necesitamos demostrar que $\partial X\subset\partial(intX)$ . No sé muy bien cómo hacerlo.

Gracias.

Answer 1

Observe que $int(X)\subset X\land X=\bar{X}\implies \overline{int(X)}\subset X$ así que tienes que demostrar que $\forall x\in X,\exists (x_n)\subset int(X):x_n\rightarrow x$ así que toma un poco $x_0\in int(X)\neq\emptyset$ y definir $x_n:=x_0+\frac{1}{n}\left( x-x_0\right)=\frac{1}{n}x+\left( 1-\frac{1}{n}\right)x_0$ donde $x_n\in int(X)$ como $X$ convexo $\implies int(X)$ convexo y $y\in Y,z\in(\bar{Y})$ convexo $\implies [y,z)\subset Y$ .