Los conjuntos son mis objetos y como flechas, esas $ f : A \rightarrow B $ tal que para todo $ b \in B $ el subconjunto $ f^{-1}(b) \subseteq A $ tiene como máximo dos elementos (en lugar de uno). Quiero demostrar si es una categoría.
NOTA : Por favor, también señala la deficiencia en mi lenguaje matemático (argumento).
Este es mi intento.
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El "morfismo" de identidad puede probarse demostrando que existe. Una simple "correspondencia uno a uno" de un conjunto a sí mismo es suficiente.
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Para formar un ejemplo concreto que muestre un caso de "composición", tomo tres conjuntos $A = \{1, 2, 3 \} $ B = { p, q }, C = { a, b, c }. Sea $ f : A \rightarrow B $ y $ g : B \rightarrow C $ entonces $ f = \{(1, w), (2, w), (2, x), (3, x) \}$ y $ g = \{ (w, a), (w, b), (x, a), (x ,c) \} $ . Ahora intento componer $f$ y $g$ . Puesto que ambos $f$ y $g$ función' multivaluada, no estoy seguro de si el siguiente es el paso correcto. $ f \bullet g = \{ (1,a), (1, b), (2, a), (2, b), (2, a), (2, c), (3, a), (3, c) \} = \{ (1,a), (1, b), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, c) \} $ . Se trata de un morfismo $ X : A \rightarrow C $ . Pero viola las restricciones dadas sobre el codominio en la "función" ya que para $a \in C $ , $ X^{-1}(a) $ tiene más de dos elementos. Son los siguientes $\{1, 2, 3\}$ .
Por lo tanto, esta cosa no es una categoría
Ahora tengo problemas con el caso finito, es decir, cuando $f^{-1}(b)$ ¿es finito o infinito?
He construido una prueba para el caso finito con argumentos similares y demuestra que se trata de una categoría.
¿Y el caso infinito? ¿Puedo demostrarlo sin utilizar el concepto de espacios vectoriales?
