Hay un $C > 0$ tal que $\vert f(z)-f(w)\vert \leq C\vert z-w\vert$ para una función holomorfa en $B(0, R)$.

Question

Sea $0<\delta y $R>0$, y $a\in\mathbb C$. Quiero mostrar que existe $C>0$ tal que para todas las funciones holomorfas $f\colon B(a,r)\to B(0,R)$, tenemos $$ \vert f(z)-f(w)\vert\leq C\vert z-w\vert $$ para $z,w\in B(a,\delta)$.

No estoy seguro de cómo abordar esto. Me preguntaba si podría usar que $$ \left\vert\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\right\vert\leq\frac{\Vert f\Vert_{C(a,\rho)}}{\rho^n} $$ para algún $0<\rho. También tengo una expresión de mapas biholomorfos de $B(0,1)$ a sí mismo, pero no estoy seguro si podría usarlo aquí. ¿Alguna pista?

Answer 1

Sea $\rho = (r - \delta)/2$. Entonces para cualquier $z \in B(a, \delta)$, el cierre del disco $B(z, \rho)$ está contenido en $B(a, r)$, por lo que la estimación de Cauchy para la derivada da como resultado $$ |f'(z)| \le \frac{\Vert f \Vert_{C(a,\rho)}}{\rho} \le \frac{2R}{r - \delta} =: C \, . $$ Este $C$ satisface la desigualdad deseada: Sea $\gamma(t) = z + t (w-z)$, $0 \le t \le 1$, el camino recto desde $z$ hasta $w$. Entonces $$ f(z) - f(w) = \int_\gamma f'(\zeta) \, d\zeta = (w-z)\int_0^1 f'(z + t(w-z)) \, dt $$ y por lo tanto $$ |f(z) - f(w)| \le |z-w| \int_0^1 |f'(z + t(w-z))| \, dt \le C |z-w| \, . $$