Mi intuición me decía que E(X|X) es X. Sin embargo, me atasco cuando intento evaluarlo a partir de la definición. ¿Cómo defino f(X|X) ? ¿sería constante? Gracias por vuestra ayuda.
Respuesta
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Artem Mavrin
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Su intuición es correcta: si $X$ es cualquier variable aleatoria con media finita (¡no necesariamente discreta o continua!), entonces $E[X \mid X] = X$ .
En términos más generales, si $\mathcal{G}$ es un $\sigma$ -campo, entonces $E[X\mid\mathcal{G}] = X$ (casi seguro) siempre que $X$ es un $\mathcal{G}$ -variable aleatoria medible con media finita. Esto se puede demostrar a partir de la definición de $E[X \mid \mathcal{G}]$ como la única (hasta casi cualquier equivalencia) $\mathcal{G}$ -variable aleatoria mensurable $Y$ tal que $E[X \mathbf{1}_A] = E[Y \mathbf{1}_A]$ para cada $A \in \mathcal{G}$ . Para ver por qué, observe que si $X$ es $\mathcal{G}$ -medible, entonces ciertamente $E[X \mathbf{1}_A] = E[X \mathbf{1}_A]$ para todos $A \in \mathcal{G}$ .
El caso especial $E[X \mid X]$ es sólo $E[X \mid \mathcal{G}]$ donde $\mathcal{G}$ es el $\sigma$ -campo generado por $X$ en cuyo caso $X$ es necesariamente $\mathcal{G}$ -medible y, por tanto $E[X \mid X] = X$ (casi seguro).
