Distribución de caramelos a tres niños

Question

La abuela Sue tiene $8$ distintos caramelos para repartir entre sus $3$ niños distintos, ¿de cuántas maneras se puede hacer esto si se quiere que cada niño reciba al menos $2$ caramelos.

Mi intento:

Elija $6$ de $8$ caramelos en $\binom{8}{6}$ maneras, distribuya estos $6$ entre los tres dando dos a cada niño en $\frac{6!}{(2!)^3}$ formas y, por último, distribuya los dos bombones restantes en $3^2$ maneras.

La respuesta correcta es $2940$ y mi análisis anterior da $22680$ . ¿En qué me equivoco?

Answer 1

Su planteamiento parece correcto a primera vista.
Pero hay un problema. Distingue los dos primeros caramelos y los adicionales.

Caso $1$ . El niño A recibe caramelos $1$ & $2$ cuando distribuyes dos caramelos para cada niño. Y luego A recibe caramelos adicionales $7$ .

Caso $2$ . El niño A recibe caramelos $1$ & $7$ cuando distribuya dos caramelos para cada niño. Y luego A recibe caramelos adicionales $2$ .

Estos dos casos deben considerarse como el mismo caso(A recibe caramelos $1$ , $2$ , $7$ ), pero su planteamiento distinguía estos dos casos.

Solución: la única distribución posible es (4,2,2) o (3,3,2)

$(4,2,2)$ caso : ${8}\choose{4}$$ {4}{4}{2} $${2}\choose{2}$$ \3 veces = 1260$ .
Tú eliges $4$ de $8$ y elija $2$ de $4$ y elegir a un niño que obtendrá $4$ caramelos.

$(3,3,2)$ caso : $8\choose 3$$ 5 \ elegir 3 $$2\choose 2$$ \3 veces = 1680$

1260+1680 = 2940