¿Cómo reflejar la incertidumbre cuántica en la mecánica estadística?

Question

¿Cómo se concilia el principio de superposición de la mecánica cuántica con la mecánica estadística? Porque en la derivación de la distribución canónica no veo nada relacionado con el principio de superposición, pero la distribución canónica se puede utilizar para describir sistemas cuánticos, por ejemplo, un único oscilador cuántico en contacto térmico con un depósito de calor.Entonces, ¿cómo derivar la distribución canónica no de los estados propios del Hamiltoniano sino de los estados de superposición?

En términos más generales, ¿cómo reflejar la incertidumbre cuántica en la mecánica estadística?

Answer 1

Hay muchos casos en los que se puede utilizar la mecánica estadística por diversas razones. En cuanto a tu pregunta sobre el conjunto, es posible utilizarlos incluso en un único sistema.

Consideremos el ejemplo más familiar, el gas ideal, del que se han derivado varias propiedades físicas. Ahora, dividamos el sistema con volumen $V$ en $N$ subsistema con volumen $V/N$ . En $N$ no debe ser tan grande que $V/N$ puede considerarse microscópicamente grande. Por lo tanto, todos los subsistemas tienen las mismas propiedades macroscópicas (medias) que el sistema original, pero ahora tenemos $N$ ¡realización de un conjunto en lugar de un único sistema! Incluso en el caso de los sistemas que interactúan, suele ser posible dividirlos en varios subsistemas, si la división es mayor que la longitud de correlación. Cada subsistema puede considerarse ahora como una realización del conjunto, y pueden realizarse estadísticas para este conjunto.

Por otra parte, si el sistema tiene la ergódico propiedad. Entonces, el sistema en un tiempo diferente puede considerarse como una realización del conjunto, con una separación temporal suficientemente larga. Las propiedades promediadas en el tiempo serán las mismas que las promediadas en el conjunto. Por ejemplo, la temperatura puede fluctuar en un periodo de tiempo muy corto, pero un termómetro de respuesta lenta puede indicar la temperatura media.

Answer 2

Podemos utilizar la mecánica estadística siempre que la distribución del espacio de fases del sistema sea independiente del tiempo. Esto significa que la distribución tiene que ser una función de las constantes de movimiento del sistema que son $E, \vec L, \vec p$ . Generalmente tenemos control sobre $E$ y no las otras, por lo que generalmente tratamos con sistemas cuya distribución en el espacio de fases es puramente una función si $E$ .

La forma de aplicar esto es calcular primero el nivel de energía permitido para una partícula. Aquí consideramos el Hamiltoniano total (potencial) que ve una partícula y luego averiguamos los estados de energía permitidos. Nótese que esto no es lo mismo que tomar un sistema de partículas y elegir una de ellas y tratar el resto como un baño de calor. No, no. Estamos resolviendo los posibles niveles de energía para una sola partícula. Una vez que tengamos eso, los rellenaremos con el número total de partículas tal que la energía total sea igual al valor deseado.

Y podría haber muchas formas de rellenarlo para obtener la energía total correcta. Estos son todos los microestados posibles. Este método funciona cuando la interacción entre partículas es despreciable, porque ignoramos las interacciones cuando resolvemos estados de una sola partícula.

Answer 3

La respuesta a tu pregunta "cómo introducir la incertidumbre cuántica en la mecánica estadística" es: con la matriz de densidad.

La descripción completa se encuentra en los libros de texto, etc, (Conferencias de Feynman sobre Mecánica Estadística, y von Neumann Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica son buenos), pero en pocas palabras usted tiene un conjunto estándar (canónica, microcanónica, o lo que sea) de $N$ sistemas con sistema $i$ en el estado $|\phi_i>$ (no necesariamente estados propios).

Introducir el operador de densidad , $\hat \rho={1 \over N} \sum_{i=1}^N |\phi_i> <\phi_i|$ .

Esa es la parte de la mecánica estadística. Ahora la cuántica. Introducir un conjunto base de estados $|\psi_j>$ que son eigenestados de algún operador que te interese (puedes elegir), y el matriz de densidad se define utilizando estos estados. $\rho_{jk}=<\psi_j| \hat \rho|\psi_k>={1 \over N} \sum_{i=1}^N<\psi_j |\phi_i> <\phi_i|\psi_k>$ .

Los elementos diagonales $\rho_{kk}$ la probabilidad de que si se mide un miembro aleatorio del conjunto, éste se encuentre en la posición $k$ eigenestado, y que incluye la probabilidad estadística, a partir de la ${ 1\over N } \sum$ y la probabilidad cuántica del $|<\psi|\phi>|^2$ . También se puede utilizar para dar valores de expectativa de los operadores.

Los elementos no diagonales contienen información sobre la naturaleza de la incertidumbre. Un ejemplo clásico es un conjunto de electrones con la mitad de espín hacia arriba y la otra mitad hacia abajo, comparado con un conjunto con espín lateral (alineado, por ejemplo, a lo largo del eje x). En ambos casos, los dos elementos diagonales son simplemente $1 \over 2$ mientras que las diagonales son cero en el primer caso, pero no en el segundo.

Por cierto, todo el asunto del "colapso de la función de onda" equivale a poner a cero todos los elementos no diagonales de la matriz de densidad.