¿Cómo debo entender la dimensión Kodaira?

Question

Digamos que tenemos la variedad proyectiva $X$ . Su dimensión Kodaira $\kappa(X)$ se define por el "exponencial de crecimiento" de $P_d := \dim H^0(X,K_X^{\otimes d})$ con respecto a $d$ es decir

• $\kappa(X) := -\infty$ si $P_d = 0$ para todos $d > 0$ ,
• $\kappa(X) := \min\{k \in \mathbb{Z}\mid \{P_d/d^k\} \text{ is bounded}\}$

No entiendo cómo se supone que debemos interpretar esto.

1. De la definición literal, $P_d$ mide el espacio de secciones de $K_X^{\otimes d}$ que a su vez indican el tamaño que puede tener un espacio proyectivo $X$ incrustar efectivamente en, "a través del haz de líneas $K_X^{\otimes d}$ ." Pero, ¿qué significa esto? ¿Y qué significa "crecimiento de $P_d$ "¿Qué significa?

2. Tal vez mi problema es que ni siquiera entiendo el papel especial de $K_X$ . Porque, uno podría fácilmente dar una definición $\kappa(X;L)$ para cualquier haz lineal (holomorfo) sobre $X$ de manera similar y calcularlo. (¿Esto existe? Y si es así, ¿cómo entenderlo? Por ejemplo, si miramos $L$ como el haz holomorfo tangente (o cotangente) sobre $X$ )

Gracias por sus aclaraciones. Soy un principiante absoluto en esto, así que agradecería cualquier orientación.

Answer 1

En la pregunta 1 se pregunta qué "crecimiento de $P_d$ "significa. Bueno, $P_d$ es una función del número natural $d$ y (al igual que cualquier función de este tipo) se puede preguntar si está limitada por encima por una función polinómica de $d$ . En este caso se puede demostrar que para cualquier variedad $X$ de dimensión $n$ la función $P_d$ está limitada por encima por un múltiplo constante de $d^n$ . Pero eso no es necesariamente óptimo: puede haber un valor más pequeño de $k$ tal que $P_d$ está de hecho acotada por encima por un múltiplo de $d^k$ . El "crecimiento" de $P_d$ se refiere al valor óptimo de $k$ . Eso es exactamente lo que encierra su definición.

También pregunta por el significado de la expresión "a través del haz de líneas $K_X^d$ ." Aquí no me queda tan claro dónde está su confusión, pero permítame intentar decirle algo. Cualquier haz de líneas $L$ en una variedad proyectiva $X$ tal que $H^0(X,L) \neq \{0\}$ da un mapa racional $X \dashrightarrow \mathbf P^N$ donde $N=\operatorname{dim } H^0(X,L)-1$ . Si no estás familiarizado con cómo funciona esto, se explica por ejemplo en Hartshorne II.7 si no recuerdo mal. En particular puedes aplicarlo a la secuencia de paquetes $K_X^d$ y $\kappa(X)$ se puede considerar que mide la velocidad a la que la dimensión del espacio proyectivo objetivo crece con $d$ .

Sin embargo, hay una forma quizá más útil de entender $\kappa(X)$ como sigue. Para cada $d$ el cierre de la imagen del mapa racional $X \dashrightarrow \mathbf P^N$ descrita anteriormente es una subvariedad algebraica, llámala $Y_d$ de $\mathbf P^N$ . En $d$ crece, los espacios objetivo $\mathbf P^N$ se hacen cada vez más grandes, pero la dimensión de $Y_d$ debe alcanzar un valor máximo (ya que nunca puede ser mayor que la dimensión de $X$ ). Y de hecho (aunque se trata de una afirmación no trivial) este valor máximo de la dimensión de $Y_d$ es igual a $\kappa(X)$ .

Por último, tienes razón en que la misma definición tiene sentido para cualquier haz de líneas $L$ en $X$ . El invariante correspondiente se denomina dimensión Iitaka de $L$ y se denota $\kappa(X,L)$ . La razón por la que $K_X$ importante es que se trata de un definido canónicamente asociado a cualquier variedad (digamos suave). Además, tiene la buena propiedad (no compartida por su dual $K_X^\ast$ ) que los números $P_d$ son invariantes birracionales. Así que desde el punto de vista de la clasificación biracional de variedades, $K_X$ es la única opción natural de haz de líneas a considerar.