Álgebra: Demostrar desigualdad $\frac{ab + bc + ca}{4S}\ge \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6}$

Question

Demuestra esta desigualdad donde $a$ , $b$ y $c$ son lados de un triángulo y $S$ su área. $$\frac{ab + bc + ca}{4S}\ge \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6}$$

Answer 1

Por el teorema del seno, la desigualdad dada es equivalente a $$ \frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C} \geq 2\sqrt{3} \tag{1}$$ y puesto que $\frac{1}{\sin(x)}$ es una función convexa en el intervalo $(0,\pi)$ , $(1)$ es una consecuencia directa de La desigualdad de Jensen .

Answer 2

Desde $ab+ac+bc\geq\sum\limits_{cyc}(2ab-a^2)$ es sólo $\sum\limits_{cyc}(a-b)^2\geq0$ y $$\sum_{cyc}(2ab-a^2)=\sum_{cyc}a(b+c-a)>0,$$ es suficiente para demostrar que $$\sum_{cyc}(2ab-a^2)\geq4\sqrt3S$$ o $$\sum_{cyc}(2ab-a^2)\geq\sqrt{3\sum_{cyc}(2a^2b^2-a^4)}$$ o $$\sum_{cyc}(a^4-a^3b-a^3c+a^2bc)\geq0,$$ que es Schur.

¡Hecho!