Cardinalidad del producto cartesiano donde (a,b) son elementos de A x B

Question

Tengo problemas con una pregunta sobre la cardinalidad de un producto cartesiano.

Pregunta: Que $A=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 7\}$ y $B=\{0, 2, 4, 1, 12\}.$

¿Cuántos elementos hay en $\{(a, b) A × B \; | \; a < 7 \text{ and } b < 4\}$ ?

Quiero que esto sea $6 \cdot 3 = 18$ . pero eso parece estar mal.

Answer 1

Puede empezar por omitir todos los $a \in A$ tal que $a\ge 7$ y todos $b \in B$ tal que $b \ge 4$ porque sabemos que los pares ordenados con dichos elementos no estarán incluidos en el producto cartesiano que buscamos. Así, tras la omisión, tenemos $A = \{0,1,2,3,4,5\}$ y $B=\{0,2,-1\}$ . Ahora, la cardinalidad del producto cartesiano entre conjuntos $A$ y $B$ denotado como $|A$ x $B|$ viene dada por $|A$ x $B|$ = $|A| \cdot |B| = 6 \cdot 3 = 18$ . Así que tiene razón. Si su libro dice otra cosa, entonces sospecho que su libro contiene un error.

Answer 2

¿Por qué me parece mal?

$\{(a,b)\in A\times B| a<7$ y $b< 4\}=$

$\{(a,b)| a\in \{k\in A|k < 7\}$ y $b\in \{j\in B|j < 4\}=$

$\{(a,b)| a \in \{0,1,2,3,4,5\}$ y $b \in \{-1,0,2\}\}=$

$\{0,1,2,3,4,5\} \times \{-1,0,2\}$

Y si $C, D$ son finitos entonces $|C\times D| = |C|\cdot |D|$ .

Y como $|\{0,1,2,3,4\}|= 6$ y $|\{-1,0,2\}| = 3$ tenemos

$|\{0,1,2,3,4,5\} \times \{-1,0,2\}= 6\cdot 3 = 18$

Si lo desea, podemos incluso enumerarlas todas:

$(0,-1),(0,0), (0,2),(1,-1),(1,0),(1,2), (2,-1),(2,0), (2,2),(3,-1),(3,0),(3,2),(4,-1),(4,0), (4,2),(5,-1),(5,0),(5,2)$ .

.... Yo .... realmente no tengo ni idea de por qué usted piensa que esto parece mal. Hay muy pocas cosas en mi vida ahora mismo que me parezcan tan bien como esto.

Answer 3

Si he entendido bien tu pregunta, empezarás tomando los subconjuntos adecuados de A y B.

Puesto que A = {0,1,2,3,4,5,7} y B = {0,2,4,-1,12}, y estás restringiendo tus subconjuntos a a < 7, y b < 4, esto deja los conjuntos C = {0,1,2,3,4,5} y D = {0,2,-1}.

Si se permite la repetición, que es lo que parece suponer su pregunta, entonces hay 6 formas de seleccionar el primer elemento y 3 formas de seleccionar el segundo, lo que implica un total de 18 formas de construir pares ordenados en los subconjuntos.

Tenga en cuenta que su libro de texto podría estar buscando subconjuntos no ordenados de tamaño 2, que es una pregunta diferente.