EDP cuasilineal de 2º orden, aplicar datos iniciales a solución general

Question

La pregunta consiste en hallar la solución de una ecuación diferencial parcial.

La solución general que encontré fue $u(x,t)=F(x^{2}-t^2 e^{u})$ y la condición inicial es $u(x,0)=2\ln (x)$ . El problema que he tenido es intentar aplicar esos datos al formulario general.

Lo que probé fue a enchufar los datos a la solución general para obtener: $2\ln (x) = F(x^{2})$ A partir de ahí dejo que $x^{2} = z$ y por lo tanto $x=\sqrt{z}$ que me da: $2\ln(\sqrt z ) = F(z)$

y luego traté de tomar esto y subbing a través de la solución original que tenía, que da:

$u(x,t) = 2\ln (\sqrt{x^{2}-t^2e^{u}})$

La solución al problema es $u(x,t) = \ln (\frac{x^{2}}{1+t^{2}})$ Me preguntaba si alguien podría ayudar a señalar lo que hice mal.

La EDP original es $\partial_t u + \big(\frac{t}{x}e^u\big)\partial_x u = 0$ (véase exposición del problema ).

Answer 1

Si usas las leyes del logaritmo, $a\ln b=\ln( b^a)$ te das cuenta de que $F(x^2)=\ln(x^2)$ Así pues $F(z)=\ln z$ y con eso $$ u=\ln(x^2-t^2e^u)\implies e^u=x^2-t^2e^u\implies e^u=\frac{x^2}{1+t^2}. $$