¿Cuántos números enteros compuestos consecutivos siguen a k!+1?

Question

Al principio pensé que esta pregunta era demasiado básica para MathOverflow, así que probé con Math.StackExchange, pero nadie parecía tener una solución. Aquí va.

¿Cuántos números enteros compuestos consecutivos siguen a k!+1 ? Escribí un programa en Mathematica para calcular respuestas explícitas para los primeros 300, pero no parece haber mucho patrón. Los resultados son aquí . Este es un problema en Underwood Dudley's Teoría elemental de números (sección 23.2 parte (b)), pero por mi VIDA, ¡no puedo entenderlo! Mi primera idea fue la siguiente: Que m sea el primo más pequeño tal que k<m . Entonces cualquier número de la forma k!+i donde 1<i<m será claramente compuesta. Por lo tanto, hay al menos m-2 números compuestos que siguen k!+1 . Sin embargo, más allá de eso parece difícil de decir. Por ejemplo, 11!+13 se factoriza como 199*200587 lo que parece ser un comportamiento impredecible. Me inclino a pensar que esto fue un error tipográfico en el libro y es un problema mucho más difícil que algo que debería estar en Teoría elemental de números . Quizá esté pasando por alto una solución sencilla y elegante.

La otra cosa es, si hay eran una solución de forma cerrada, entonces tendríamos una fórmula fácil para calcular primos arbitrariamente grandes. Tomemos el mayor primo conocido p y supongamos que determinamos que q siguen los números compuestos p!+1 . Entonces p!+2+q es primo.

Answer 1

Parece un problema interesante. Los problemas de huecos primos son notoriamente difíciles (compárese con la conjetura de Cramer) y no espero que éste sea más fácil. Por lo tanto, no daré una respuesta definitiva, sino que intentaré dar algunas heurísticas. El modelo de Cramer (véase por ejemplo el artículo de Granville "Harald Cramer and the distribution of prime numbers") en el que suponemos que la probabilidad de que $n$ es primo es sobre $1/\log n$ da que la probabilidad de que $k!+j$ debe ser prime debe ser about $1/\log(k!)$ que por la fórmula de Stirling es aproximadamente $1/k \log k$ . Esto supondría una diferencia media de unos $k\log k$ .

Se podría razonar un poco más. Por supuesto, cuando consideramos $k!+j$ para $2 \leq j \leq k$ hemos obligado a que estos números sean compuestos. En general, el número $k!+j$ será compuesto si algún factor primo de $j$ es inferior a $k$ . Podemos preguntarnos entonces cuál es la probabilidad de que el número $j$ tiene todos los factores primos mayores que $k$ ? Si $k < j < k^2$ esto es cierto si y sólo si $j$ es primo que tiene una probabilidad de $1/\log j$ que si $k < j < k (\log k)^N$ se trata de $1/\log k$ . Cabría esperar entonces que la probabilidad de que el número $k^2+j$ ser primo debe ser el producto de estas probabilidades o $1/(k(\log k)^2)$ .

Sin embargo entonces no hemos reconocido el hecho de que hemos forzado el número $k!+j$ no tenga un factor primo menor que $k$ . Esto significa que debemos considerar la probabilidad condicional de que un número entero $n$ es primo dado que no tiene factores primos menores que $k$ . Un simple argumento de tamizado muestra que el número es impar debe darnos $1/2$ de los números, forzando que el número no sea divisible por 3 debería darnos alrededor de $2/3$ de los números, etc. En general, deberíamos tener unos $$\prod_{p \le k} \left(1-\frac 1 p \right) \sim \frac{e^{-\gamma}}{\log k}$$ (Por la fórmula de Merten) números que quedan después del proceso de tamizado. Así lo sugiere también el teorema de Dirichlet. Esto debería darnos la probabilidad $e^{\gamma}/k \log k$ que el número $k!+j$ es primo, que es hasta una constante igual a la sugerida por el modelo de Cramer. En ambos casos, cabe esperar que la brecha prima media sea del orden de $k \log k$ aunque con constantes diferentes.