Cómo demostrar que podemos aumentar la precisión de la suma de Riemann si refinamos una partición

Question

Cuando aprendía la integral de Riemann, me introdujeron en el concepto de particiones y su refinamiento. Decía que refinar una partición (por ejemplo, controlando su norma) aumenta su eficiencia. Lo que entiendo por eficiencia es la capacidad de medir el área bajo la curva. Mi profesor dijo que es intuitivo. Pero eso no me satisface. Además, ¿alguien puede darme una prueba rigurosa (sin métodos gráficos) del hecho de que la suma de Riemann realmente da el área bajo una curva?

Agradeceremos cualquier ayuda.

Answer 1

En su "nivel de sofisticación" se supone sin pruebas que

(i) todos los dominios "razonables" en ${\mathbb R}^2$ en particular dominios delimitados por $x$ -eje, una curva continua $y=f(x)>0$ y dos ordenadas $x=a$ , $x=b$ tienen "área";

(ii) los rectángulos tienen área $\ell\cdot h$ ;

(iii) "área" es aditiva si dos dominios tienen en común como máximo partes de sus límites; y

(iv) $A\subset B$ implica ${\rm area}(A)\leq{\rm area}(B)$ .

Estas cosas se tratan en detalle en la teoría de medidas (geométricas). Integración se trata de calcular el área de los dominios $A$ del tipo descrito en (i). Obsérvese que hay sorpresas, en la medida en que dominios tan simples como un disco circular de radio $1$ pueden tener valores de área muy extraños.

Dada cualquier partición $P$ del intervalo $[a,b]$ las sumas inferior y superior son áreas de uniones de rectángulos. De los principios (ii)-(iv) se deduce que $$L(f,P)\leq {\rm area}(A)\leq U(f,P)\ .$$ Aprovechando la continuidad de $f$ se demuestra que las sumas inferior y superior tienen un límite común bajo refinamiento, y se denota este límite por $$\int_{[a,b]}f(x)\>{\rm d}x\ .$$ Un argumento de apriete (las sumas inferiores son crecientes, las sumas superiores decrecientes bajo el refinamiento de $P$ ) se aplica $$ {\rm area}(A)=\int_{[a,b]}f(x)\>{\rm d}x\ .$$ Por otra parte, el razonamiento puramente analítico muestra que $$\int_{[a,b]}f(x)\>{\rm d}x=F(b)-F(a)\ ,\tag{1}$$ mediante $F$ es cualquier función que cumpla $F'=f$ . Fórmula $(1)$ es un gran milagro, y se llama el Teorema fundamental del Cálculo.