Demostración de la prueba de condensación de Cauchy mediante contrapositiva

Question

La prueba de condensación de Cauchy dice lo siguiente. Sea $(a_n)$ sea una sucesión decreciente de reales no negativos. Entonces la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge $\iff$ $\sum_{n=0}^\infty 2^na_{2^n}$ converge.

He visto varias pruebas de esto, pero no he visto ninguna que demuestre la $\Rightarrow$ utilizando el contrapositivo (demuestre que si $\sum_{n=0}^\infty 2^na_{2^n}$ diverge, entonces $\sum_{n=1}^\infty a_n$ diverge). Quiero hacer esto mostrando que un límite inferior en las sumas parciales de $a_n$ es ilimitada, pero no sé dónde introducir la serie condensada (que es un límite superior, no inferior, de las sumas parciales).

Este problema está en el texto de análisis de Abbott, y la pista es que la prueba es similar a la prueba de que la serie armónica diverge (que muestra que las sumas parciales están limitadas por debajo por una secuencia no limitada).

Answer 1

Sea $s_m = \sum_{k=1}^m a_k$ . Consideremos las sumas parciales $t_m = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^m 2^ka_{2^k}$ . Observe que \begin{align*} s_{2^n} &= a_1 + a_2 + (a_3 + a_4) + (a_5 + a_6 + a_7 + a_8) + \ldots + (a_{2^{n-1}+1} + \ldots + a_{2^n}) \\ &\geq a_1 + a_2 + 2a_4 + 4a_8 + \ldots + 2^{n-1}a_{2^n} \\ &= a_1 + t_n \end{align*} Si $\sum_{n=1}^\infty 2^na_{2^n}$ diverge, sus sumas parciales deben ser ilimitadas, lo que implica que $(t_m)$ también son ilimitadas. Así que $(s_m)$ son ilimitadas, y la serie diverge.