Atiyah-MacDonald ayudar con el ejercicio 5.10

Question

Este es un ejercicio de Atiyah-MacDonald, si alguien puede dar una idea acerca de cómo probar que $a)\Rightarrow b)$:

Deje $f:A\rightarrow B$ un anillo homomorphism.

a) $f^{*}:\operatorname{Spec}(B)\rightarrow \operatorname{Spec}(A)$ es un abierto de asignación;

b) $f$ tiene el que va abajo de la propiedad.

Answer 1

La solución está en el final del ejercicio. Usted necesitará ejercicio 3.26 del mismo libro.

Puedo copiar-pegar de la solución (a menos que usted tiene cualquier pregunta al respecto).

Para demostrar $(a) \Rightarrow (c)$ [recordemos que : $(c)$ $\operatorname{Spec}(B_q) \rightarrow \operatorname{Spec}(A_p)$ es surjective para todos los $q$$p:=f^*(q)$], se observa que la $B_q$ es el límite de $B_t$ donde $t \in B-q$; por lo tanto, en el Capítulo 3, Ejercicio 26, tenemos $f^*(\operatorname{Spec}(B_q)) = \bigcap_t f^*(\operatorname{Spec}(B_t))$. Desde $\operatorname{Spec}(B_t)$ es una vecindad de a$q$$\operatorname{Spec}(B)$, y desde $f^*$ está abierto, se deduce que el $f^*(\operatorname{Spec}(B_t))$ es una vecindad de a $p$ $\operatorname{Spec}(A)$ y por lo tanto contiene $\operatorname{Spec}(A_{p})$.

EDIT: he aquí un directo de auto-contenido de la prueba (que es la de arriba, pero detallada y se acorta). Deje $q$ a ser un ideal de a $B$ $p' \subset A$ ideal incluido en $p:= f^*(q)$. Recordemos que el conjunto de los números primos de $B$ incluido en $q$ y enviado a$p'$$\operatorname{Spec} B_q \otimes_A \operatorname{Frac}(A/p')$. Así que tenemos que demostrar que el anillo $$ B_q \otimes_A \operatorname{Frac}(A/p') = \varinjlim_{t \notin q} (B_t \otimes_A \operatorname{Frac}(A/p'))$$ no es de cero, lo que es equivalente a probar que $B_t \otimes_A \operatorname{Frac}(A/p') \neq 0$ todos los $t$ (cf. Ejercicios de 2.20 y 2.21 del libro).

Para $t \notin q$, $\operatorname{Spec} B_t$ es un barrio abierto de $q$, por lo tanto, por $(a)$, $f^*(\operatorname{Spec} B_t)$ es un barrio abierto de $p$, por lo que contiene $p'$. De dónde $\operatorname{Spec} B_t \otimes_A \operatorname{Frac}(A/p') \neq \emptyset$.