Función inversa de $2^{x(x-1)}$ ?

Question

Intenté llevar el registro a la base $2$ ambos lados y resolviéndolo mediante la fórmula cuadrática :

$$y = 2^{x(x-1)}$$

Llevar el tronco a la base $2$ ambos lados :

$$\log_2(y) = x(x-1)$$

$$x^2 - x -\log_2(y) = 0$$

Resolviendo la ecuación anterior para $x$ :

$$x=\frac{1\pm\sqrt{1+4\log_2(y)}}2$$

Sin embargo, la respuesta a esta pregunta es :

$$x = \frac{\log_2(y)}{\log_2(y) - 1}$$

Agradecería que alguien me respondiera a esta pregunta. Hace tiempo que me preocupa. Por cierto, antes de publicar esta pregunta aquí, he tratado de encontrar si alguien ya ha hecho esta pregunta, pero nadie lo ha hecho.

Answer 1

Puede ser una errata del libro, efectivamente si intentamos obtener la función inversa de $$y=2^{\frac x{x-1}}\,$$ obtenemos la respuesta correcta.

Llevando el logaritmo a la base $2$ ambos lados, obtenemos que :

$$\log_2(y)=\dfrac x{x-1}$$

$$x\log_2(y)-\log_2(y)=x$$

y resolviendo la ecuación anterior para $x$ :

$$x\log_2(y)-x=\log_2(y)$$

$$x\big(\log_2(y)-1\big)=\log_2(y)\;\,.$$

Por lo tanto, la función inversa es :

$$x=\frac{\log_2(y)}{\log_2(y)-1}\;\,.$$