$\lambda $ - convexidad geodésica

Question

Sea $(X,d)$ sea un espacio geodésico, supongamos $g:X \to \mathbb{R}$ es geodésicamente $\lambda$ convexo con $\lambda >0$ es decir, para todos $x,y \in X$ existe una geodésica de velocidad constante $\gamma$ de $x$ a $y$ tal que para todo $s\in [0,1]$ $$ g(\gamma_s) \leq s g(x) + (1-s) g(y) -\frac{\lambda}{2}s(1-s)d(x,y)^2 $$ Sea $x_0$ sea el minimizador único de $g$ . Demuestre que $\forall x$ $$ g(x) \geq g(x_0) + \frac{\lambda}{2}d(x,x_0)^2 $$

EDIT: gracias por el comentario. Sinceramente no hice mucho porque me quedé atascado desde el principio, ya que no tenía ni idea de cómo utilizar la propiedad geodésica. Simplemente elegí una geodésica entre $x$ y $x_0$ e intenté conectar la propiedad pero no vi cómo podría ayudar. ¿Alguna pista o sugerencia?

Answer 1

Elija su geodésico con $\gamma_{0}=x_{0}$ y $\gamma_{1}=x$ . Desde $x_{0}$ es mínimo tenemos \begin{equation} 0=\frac{d}{ds}|_{s=0}g(\gamma_{s}). \end{equation} Entonces, usando tu primera desigualdad sigue \begin{equation} 0=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}(g(\gamma_{h})-g(x_{0}))\le\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(hg(x)+(1-h)g(x_{0})-\frac{\lambda}{2}h(1-h)d^{2}(x,x_{0})-g(x_{0})\right) \end{equation} que produce la afirmación.