$A,B$ mismo valor propio $\lambda$

Question

Sea $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre los números complejos. Sea $A,B$ sean dos mapas lineales de $V$ en sí mismo. Demuestra que $A,B$ tienen un vector propio común.[Pista: Si $\lambda$ es un valor propio de $A$ consideremos el espacio $V_\lambda$ formado por todos los vectores $v$ tal que $Av=\lambda v$ y demuestre que $B$ mapea este espacio en sí mismo. Luego procede por tu cuenta] Lineal Algebra,Serge Lang.

Pienso en $Av=\lambda v $ y es el único valor propio posible significa que $\dim V_\lambda=1$ . Por lo tanto $Bv$ debe ser igual a $\lambda v$ . Sin embargo, no sé si esto es correcto. No tengo otra idea de cómo probar esta afirmación.

Preguntas :

¿Cómo puedo demostrar la afirmación? ¿Puede alguien proporcionarme una prueba?

Gracias de antemano

Answer 1

Le falta una hipótesis importante: debe exigir que $AB = BA$ . Sin esta hipótesis, el resultado no es verdadero como el ejemplo

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

demuestra. Suponiendo que $AB = BA$ elija un valor propio $\lambda$ de $A$ y considerar el espacio $V_{\lambda} = \ker(A - \lambda I)$ . Demostremos que $B(V_{\lambda}) \subseteq V_{\lambda}$ (decimos que $V_{\lambda}$ es $B$ -invariante). Si $v \in V_{\lambda}$ entonces $$Av = \lambda v \quad\text{and}\quad A(Bv) = B(Av) = B(\lambda v) = \lambda (Bv),$$ así que $Bv \in V_{\lambda}$ .

Esto significa que podemos restringir $B$ a $V_{\lambda}$ y obtener un operador $B|_{V_{\lambda}}$ de $V_{\lambda}$ a sí misma. Dado que estamos trabajando sobre los números complejos, $B|_{V_{\lambda}}$ tiene un valor propio $\mu$ y si $w \in V_{\lambda}$ es un vector propio asociado, entonces $Bw = \mu w$ y $Aw = \lambda w$ .

Answer 2

La afirmación es falsa, ya que las matrices $$A=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}\\ B=\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}$$

demuéstralo.

Cada vector propio de $A$ es de la forma $\begin{bmatrix}z\\0\end{bmatrix}$ or of the form $\begin{bmatrix}0\\z\end{bmatrix}$

mientras que cada vector propio de $B$ es de la forma $\begin{bmatrix}z\\z\end{bmatrix}$ or of the form $\begin{bmatrix}-z\\z\end{bmatrix}$

para algunos $z\in\mathbb C$ .