Media de variables aleatorias secuenciales

Question

Sea $X_1, X_2, X_3, \dots$ sea una secuencia de variables aleatorias que converge casi con seguridad $$(X_n) \rightarrow X$$ a un número $X \in \mathbb R$ (o más precisamente la distribución delta dirac centrada en algún número real). Estoy interesado en la convergencia de la secuencia media $(Y_n)$ donde $$Y_n = \frac 1 n \sum_{i=1}^n X_i$$ ¿Podemos hacer alguna afirmación sobre la convergencia de $(Y_n)$ ? Intuitivamente, supongo que también tiene que converger a $X$ pero no estoy seguro del modo ni de cómo probarlo.

Answer 1

Para secuencias numéricas $(x_n)$ es un ejercicio estándar que $\lim x_n=L$ implica $\lim \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k=L$ .

Por supuesto, existe un conjunto $E$ de medida completa tal que para cada $\omega\in E$ , $X_n(\omega)\to X(\omega)$ . Por lo anterior, esto implica $Y_n(\omega)\to X(\omega)$ .

Así, $Y_n \to X$ casi seguro. (Y, en consecuencia, converge en probabilidad y en distribución.) Esto es prácticamente todo; puesto que no hay ninguna razón para que $X$ o $Y_n$ sea integrable, no podemos esperar, digamos, convergencia en $L^1$ .