Supongamos que $f:D\to\mathbb{C}$ es una función holomorfa con $\text{Re}\ f(z)\geq 0$ para todos $z\in D$ y $f(0)=1$ .
( $D$ es el disco unitario abierto $\{|z|<1\}$ )
Demuéstralo:
(i) $\text{Re}\ f(z)>0$ para todos $z\in D$ .
(ii) $|f(z)|\leq\frac{1+|z|}{1-|z|}$ para todos $z\in D$ .
(iii) $|f(z)|\geq\frac{1-|z|}{1+|z|}$ para todos $z\in D$ .
Hasta ahora sólo he podido demostrar (ii), utilizando el lema de Schwarz. ¡Gracias por cualquier ayuda!
Prueba de (ii):
Sea $g(z)=\frac{z-1}{z+1}$ que se sabe que asigna el semiplano derecho al disco unitario abierto, de modo que $gf:D\to D$ es analítica y $gf(0)=g(1)=0$ . Esto satisface el lema de Schwarz, de modo que
$$\left|\frac{f(z)-1}{f(z)+1}\right|\leq|z|$$
Romper el módulo: \begin{align*} |f(z)|-1&\leq||f(z)|-1|\\ &\leq|f(z)-1|\\ &\leq|zf(z)+z|\\ &\leq|f(z)||z|+|z| \end{align*}
La reordenación da $|f(z)|(1-|z|)\leq 1+|z|$ que da $|f(z)|\leq\frac{1+|z|}{1-|z|}$ que es (ii).
