Inecuaciones de funciones holomorfas (posiblemente utilizando el lema de Schwarz)

Question

Supongamos que $f:D\to\mathbb{C}$ es una función holomorfa con $\text{Re}\ f(z)\geq 0$ para todos $z\in D$ y $f(0)=1$ .

( $D$ es el disco unitario abierto $\{|z|<1\}$ )

Demuéstralo:

(i) $\text{Re}\ f(z)>0$ para todos $z\in D$ .

(ii) $|f(z)|\leq\frac{1+|z|}{1-|z|}$ para todos $z\in D$ .

(iii) $|f(z)|\geq\frac{1-|z|}{1+|z|}$ para todos $z\in D$ .

Hasta ahora sólo he podido demostrar (ii), utilizando el lema de Schwarz. ¡Gracias por cualquier ayuda!

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Prueba de (ii):

Sea $g(z)=\frac{z-1}{z+1}$ que se sabe que asigna el semiplano derecho al disco unitario abierto, de modo que $gf:D\to D$ es analítica y $gf(0)=g(1)=0$ . Esto satisface el lema de Schwarz, de modo que

$$\left|\frac{f(z)-1}{f(z)+1}\right|\leq|z|$$

Romper el módulo: $$\begin{align*} |f(z)|-1&\leq||f(z)|-1|\\ &\leq|f(z)-1|\\ &\leq|zf(z)+z|\\ &\leq|f(z)||z|+|z| \end{align*}$$

La reordenación da $|f(z)|(1-|z|)\leq 1+|z|$ que da $|f(z)|\leq\frac{1+|z|}{1-|z|}$ que es (ii).

Answer 1

Pista. Para la parte (i), observe que $\operatorname{Re}f(z)$ es armónico, por lo que obedece al principio del máximo. Para la parte (iii), recuerda que ya hemos demostrado $\operatorname{Re}f(z)>0$ Por lo tanto $f(z)\not=0$ . Ahora tenga en cuenta que $1/f(z)$ cumple la misma propiedad que $f(z)$ por lo que podemos aplicar la consecuencia de la parte (ii).