¿Puede un módulo ser una extensión de dos formas realmente diferentes?

Question

( Edita: Me he dado cuenta de que había un error en mi razonamiento cuando me convencía de que estas dos formulaciones son equivalentes. Hailong ha dado una hermosa respuesta afirmativa a mi primera pregunta en el caso de módulos de tipo finito sobre un anillo conmutativo noetheriano. Mariano ha dado una hábil respuesta negativa a la pregunta para módulos no finitos. Greg ha dado una hermosa respuesta negativa a mi "formulación alternativa" incluso en el caso de módulos de tipo finito sobre un anillo conmutativo noetheriano. Acepto la respuesta de Hailong porque es la que imagino que interesará más inmediatamente a la gente que se plantee esta cuestión en el futuro).

Supongamos que estamos trabajando la categoría de módulos sobre algún anillo $R$ . Supongamos un módulo $E$ es una extensión de $M$ por $N$ de dos maneras diferentes. En otras palabras, tengo dos secuencias exactas cortas

$$\begin{array}{ccccccccc} 0&\to &N&\xrightarrow{i_1}&E&\xrightarrow{p_1}&M&\to &0\\ & & \wr\downarrow ?& & \wr\downarrow ?& & \wr\downarrow ?\\ 0&\to &N&\xrightarrow{i_2}&E&\xrightarrow{p_2}&M&\to &0 \end{array}$$

¿Debe existir un isomorfismo entre estas dos secuencias exactas cortas?

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Formulación alternativa

$Ext^1(M,N)$ parametriza extensiones de $M$ por $N$ módulo isomorfos de extensiones . Supongamos que estoy interesado en parametrizar extensiones de $M$ por $N$ modulo isomorfismos abstractos (que no tienen por qué respetar el submódulo $N$ o el cociente $M$ ). Una cosa obvia a notar es que hay una acción izquierda de $Aut(M)$ en $Ext^1(M,N)$ y que dos extensiones cualesquiera relacionadas por esta acción son abstractamente isomorfas. Del mismo modo, existe una acción correcta de $Aut(N)$ de modo que dos extensiones cualesquiera relacionadas por la acción son abstractamente isomorfas.

¿El conjunto cociente $Aut(M)\backslash Ext^1(M,N)/Aut(N)$ parametrizan extensiones de $M$ por $N$ ¿módulo isomorfismo abstracto?

Nota no preguntando si todos los isomorfismos abstractos son generados por $Aut(M)$ y $Aut(N)$ . Desde luego que no. Estoy preguntando si para cada par de extensiones abstractamente isomorfas existe algún isomorfismo entre ellos generado por $Aut(M)$ y $Aut(N)$ .

Answer 1

Merece la pena señalar algunos casos muy interesantes en los que la respuesta es afirmativa. Un sorprendente resultado de Miyata establece que si $R$ es noetheriano y conmutativo, $M,N$ están finitamente generados y $E \cong M\oplus N$ cualquier secuencia exacta $0 \to M \to E \to N \to 0$ ¡hay que partir!

Esto se aplica de forma ligeramente más general, cuando $R$ es (no necesariamente conmutativo) módulo-finito sobre un anillo conmutativo noetheriano. Además, la afirmación es válida para grupos pro-finitos finitamente generados, véase Goldstein-Guralnick, J. Group Theory 9 (2006), 317-322.

Añadido: de hecho, este ponencia de Janet Striuli puede serle útil. Abordó la cuestión: si dos elementos $\alpha, \beta \in \text{Ext}^1(M,N)$ dan módulos de extensión isomórficos, ¿cómo de cerca debe $\alpha, \beta$ ¿ser? Su Teorema 1.2 amplía el resultado de Miyata (sea $I=0$ ).

Answer 2

Ejemplo tonto: elija cualquier extensión no dividida $$\mathcal E:0\to A\to E\to B\to0$$ y considerar la extensión aburrida $$\mathcal F:0\to A^\infty\oplus E^\infty\oplus B^\infty\to A^\infty\oplus E^\infty\oplus B^\infty\to 0\to 0$$ cuyo mapa distinto de cero es una identidad. Entonces la secuencia $\mathcal E\oplus\mathcal F$ no está dividida, pero los módulos que aparecen en ella son los mismos que aparecen en la extensión dividida de $B$ por $A^\infty\oplus E^\infty\oplus B^\infty$ .

(Aquí $(\mathord-)^\infty$ denota la suma directa contable de su argumento)

Answer 3

Creo que este es un contraejemplo. Dejemos que $R=\mathbb{C}[x]$ y consideraremos módulos de dimensión finita (es decir, espacios vectoriales f.d. dotados de un endomorfismo distinguido). Por comodidad, identificaré un módulo con una matriz, eligiendo implícitamente una base. Sea $$M = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\ 0 & 0 \end{array}\right], N = [0]$$ sean módulos de dimensión 2 y 1, respectivamente. Entonces las extensiones de $N$ por $M$ corresponden a matrices diagonales en bloque de la forma $$\left[ \begin{array}{cc} N & C \\\ 0 & M \end{array}\right]$$ donde $C$ es algo $1\times 2$ -matriz. Dado que los automorfismos de $M$ y $N$ actúan como conjugación por la matriz apropiada, vemos que preservan el rango y la nulidad de $C$ .

Ahora, observe las dos extensiones $$C =\left[ 0 \; 0 \right],\;\; C' = \left[ 0 \; 1\right]$$ dan extensiones isomorfas (es decir, matrices conjugadas), pero $C$ y $C'$ tienen rangos diferentes.