Es la siguiente relación $(x_1,x_2)\mathcal{R}(y_1,y_2) \iff x_1\geq y_1 \text{ and } x_2\geq y_2$ ¿completo?

Question

Sea $\mathcal{R}$ denotan una relación entre vectores en $x, y \in \mathbb{R_+^2}$ .

La relación se denomina completa si $\forall x, y \in \mathbb{R_+^2}$ tenemos $x\mathcal{R}y$ o $y\mathcal{R}x$ .

Se da la siguiente relación $$(x_1,x_2)\mathcal{R}(y_1,y_2) \iff x_1\geq y_1 \text{ and } x_2\geq y_2.$$

Si tomamos los vectores $x=(2,2)$ y $y = (3,1)$ entonces tenemos $\Big(\text{not } [x\mathcal{R}y]\Big)$ desde $2 = x_1 < y_1 = 3$ y también $\Big(\text{not } [y\mathcal{R}x]\Big)$ desde $1 = y_2 < x_2=2$ .

Por lo tanto $\mathcal{R}$ no es una relación completa. ¿Es correcto este razonamiento?

Answer 1

Su ni $x<y$ ni $x>y$ . Por tanto, la relación de ordenación no es total.