Intersección entre dos líneas

Question

Estoy teniendo muchos problemas tratando de entender esto. Nuestro profesor no lo ha tratado y tenemos que entregarlo dentro de dos días. Estoy tratando de resolverlo por mi cuenta:

Considere las dos líneas $L_1:x=-2t, y=1+2t, z=3t$ y $L_2:x=-1+4s,y=3+2s,z=5+s$ . Encuentre el punto $P:(x,y,z)$ de intersección de las dos líneas.

¿Alguna idea?

Answer 1

Un punto en ambas rectas satisfará ambas ecuaciones. Entonces se puede escribir $$-2t=-8+4s \\ 1+2t = 3 + 2s \\ 3t=5+s$$

Puedes elegir dos cualesquiera, resolverlas por $s,t$ y conéctalo a las líneas. Deberías obtener el mismo punto independientemente de la línea a la que conectes, una buena comprobación.

Answer 2

En el punto de intersección, las coordenadas deben satisfacer las ecuaciones de ambas rectas. Por lo tanto: $x_1=x_2, y_1=y_2,$ et $ z_1=z_2$ . Tiene el siguiente sistema de $t,s$ :

$$-2t=-8+4s $$ $$1+2t=3+2s$$ $$3t=5+s$$

Este sistema tiene una solución única: $t=2,s=1$ . Por lo tanto, el punto de intersección es: $P(-4,5,6)$

Answer 3

Para complementar las otras soluciones, también puedes observar que el sistema de ecuaciones obtenido es equivalente a la ecuación matricial $$ \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & -2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s \\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ -2 \\ -5 \end{bmatrix}. $$

Esta ecuación matricial también equivale a decir que el lado derecho (que representa un vector de un punto de una recta a un punto de la otra recta) es una combinación lineal de los vectores de dirección de las rectas. Merece la pena comprobar que esta condición es equivalente a que las dos rectas se crucen.

Answer 4

Establecer $x=x$ , $y=y$ etc. A continuación, resuelva para $s$ y $t$ . A continuación, introdúzcalo de nuevo en una de las ecuaciones lineales para obtener $x$ , $y$ et $z$ .