Encontrar todos los homomorfismos de anillo $\psi:\mathbb{C}[x]/\langle x^3 + x^2\rangle\to\mathbb{C}$ tal que $\psi(a)=a$ para todos $a\in\mathbb C$

Question

He aquí el problema:

Sea $\mathbb{C}[x]$ el anillo polinómico en una variable sobre $\mathbb{C}$ et $I = \langle x^2(x + 1)\rangle$ sea el ideal generado por $x^2(x + 1)$ . Determinar todos los homomorfismos de anillo $\psi:\mathbb{C}[x]/I \longrightarrow \mathbb{C}$ tal que $\psi (a) = a$ para todos $a \in \mathbb{C}$

Consideré

$$\mathbb{C}[x]/I \cong \mathbb{C}/\langle x^2 \rangle \times\mathbb{C}[x]/\langle x+1\rangle$$

Veo que $\mathbb{C}[x]/\langle x+1 \rangle\cong \mathbb {C}$ como anillos, si consideramos $f( a+ \langle x+1\rangle) = a$ . Pero me gustaría alguna pista sobre cómo proceder a partir de aquí?

Al final, supongo que querría algo como lo siguiente? $$\mathbb{C}[x]/I \cong^{iso} \mathbb{C}/\langle x^2 \rangle \times \mathbb{C}[x]/\langle x+1\rangle\cong^{iso} \text{something familiar}\times \mathbb{C}\cong^{hom}\mathbb{C}.$$

Pero, ¿qué es $\mathbb{C}[x]/\langle x^2\rangle$ ? Definitivamente no es isomorfo a $\mathbb{C}^2$ como anillos.

Además, como la pregunta me pide que determine todos tales homomorfismos, sospecho que debería haber algo "cíclico", pero no lo veo aquí.

actualización : Así que consideré $\alpha = x+I \in \mathbb{C}[x]/I$ y veo que $\psi^2(\alpha)(\psi(\alpha)+1)=0$ . Esto me dice que o bien tenemos $\psi(x+I)=0$ o $\psi(x+I) = -1$ . El segundo caso es imposible si queremos $\psi(a+I) = a$ para $a\in\mathbb{C}$ .

En el primer caso, puesto que $\psi(x+I)=0$ podemos encontrar que

$$\psi(ax^2 + bx + c + I) = \psi(c + I)$$

Así que podemos definir

$$\psi: \mathbb{C}[x]/I \longrightarrow \mathbb{C}$$

por $$\psi(ax^2 + bx + c + I ) = c$$

y podemos comprobar que se trata de un homomorfismo. ¿Ya está?

Answer 1

Sea $\pi\colon\mathbb{C}[x]\to\mathbb{C}[x]/\langle x^3+x^2\rangle$ sea la proyección canónica.

Entonces $\mathbb{C}$ -homorfismo $\psi\colon \mathbb{C}[x]/I\to\mathbb{C}$ determina unívocamente un $\mathbb{C}$ -homorfismo $\alpha=\psi\circ\pi\colon \mathbb{C}[x]\to\mathbb{C}$ con $\ker\alpha\supseteq I$ .

Por el contrario, cualquier $\mathbb{C}$ -homorfismo $\beta\colon\mathbb{C}[x]\to\mathbb{C}$ con $\ker\beta\supseteq I$ determina un $\mathbb{C}$ -homorfismo $\mathbb{C}[x]/I\to\mathbb{C}$ .

Puesto que un $\mathbb{C}$ -homorfismo $\beta\colon\mathbb{C}[x]\to\mathbb{C}$ viene determinada por $\beta(x)$ et $\ker\beta=\langle f(x)\rangle$ para un polinomio irreducible mónico único $f$ (ya que $\mathbb{C}$ es un campo), sólo tenemos que ver qué polinomios irreducibles mónicos $f(x)$ tienen la propiedad de que $$ \langle f(x)\rangle\supseteq\langle x^3+x^2\rangle $$ es decir, $$ f(x)\mid x^3+x^2 $$ ¿Sabe cuáles son?

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Podemos verlo de otra manera. Elementos de $\mathbb{C}[x]/I$ puede escribirse de forma única como $\alpha+\beta u+\gamma u^2$ donde $u=x+I$ y $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{C}$ .

Si $\psi\colon\mathbb{C}[x]/I\to\mathbb{C}$ es un $\mathbb{C}$ -entonces sólo tenemos que determinar $\psi(u)$ .

Desde $u^3+u^2=0$ debemos tener $\psi(u)^3+\psi(u)^2=0$ lo que implica $\psi(u)=0$ o $\psi(u)=-1$ . Ambas opciones corresponden en realidad a un $\mathbb{C}$ -homorfismo.