Hallar el área del triángulo ABC dadas las áreas de triángulos más pequeños

Question

Consideremos un punto P en el interior de un triángulo ABC. Dibuja tres rectas que pasen por el punto y sean paralelas a los lados del triángulo.

Dividen el triángulo en tres paralelogramos y tres triángulos. Sean S1, S2 y S3 las áreas de estos triángulos más pequeños. Halla el área del triángulo ABC.

Esto es lo que he completado hasta ahora, pero estoy muy atascado.

Answer 1

Sea $S$ ser área de $\triangle ABC$ .

Sea $(u,v,w)$ sea coordenada baricéntrica de punto $P$ con respecto a $\triangle ABC$ .

Por definición, $u,v,w$ son tres números tales que $$u+v+w = 1\quad\text{ and }\quad\vec{P} = u\vec{A} + v\vec{B} + w\vec{C}$$ Desde $P$ se encuentra en el interior de $\triangle ABC$ , $u, v, w > 0$ . Además, las coordenadas baricéntricas son cocientes de alturas de triángulos. Por ejemplo,

$$v = \text{ height of } \triangle PAC \text{ at } P : \text{ height of } \triangle ABC \text{ at } B $$ Desde $\triangle PIE$ es similar a $\triangle ABC$ y tiene la misma altura que $\triangle PAC$ en $P$ encontramos

$$S_3 = \verb/Area/(\triangle PIE) = \verb/Area/(\triangle ABC) v^2 = S v^2$$ Por un argumento similar, tenemos $S_2 = S u^2$ y $S_1 = Sw^2$ .

Desde $u, v, w > 0$ obtenemos

$$\sqrt{S} = \sqrt{S}(u+v+w) = \sqrt{Su^2} + \sqrt{Sv^2} + \sqrt{Sw^2} = \sqrt{S_2} + \sqrt{S_3} + \sqrt{S_1}$$

Answer 2

Los triángulos semejantes se encuentran entre sí en la relación al cuadrado de (sus) lados correspondientes [ 1 ]

Por lo tanto, $$\small [\triangle FIP]:[\triangle PHE]:[\triangle GPG]=S_1:S_2:S_3$$ $$\small\implies FP:PE:GJ=\sqrt{S_1}:\sqrt{S_2}:\sqrt{S_3}$$

A partir de ahí $\small AC:GJ=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}):\sqrt{S_3}$

En $\small \triangle ABC\sim\triangle GPJ\implies$ $$\small \begin{align} \small \frac{[\triangle ABC]}{[\triangle GPJ]}&=\frac{(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3})^2}{(\sqrt{S_3})^2}\\ \small \frac{[\triangle ABC]}{S_3}&=\frac{(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3})^2}{{S_3}}\\ \boldsymbol {[\triangle ABC]}&\boldsymbol{=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3})^2}\end{align}$$