¿Es esta afirmación lógicamente cierta? En caso afirmativo, ¿cómo?

Question

P) ¿Es lógicamente cierta la afirmación (xQ(x)xR(x))x(Q(x)R(x))? En caso afirmativo, explique por qué. En caso negativo, explique por qué es falsa.

Ya he preguntado esto anteriormente pero no obtuve una respuesta que pudiera entender. Normalmente hago este tipo de preguntas dibujando una tabla de verdad, pero ahora los cuantificadores me confunden un poco.

Así es como empezaría esta pregunta

[(xQ(x)xR(x))x(Q(x)R(x))][x(Q(x)R(x))(xQ(x)xR(x))

¿Ahora tomo los posibles valores T o F para Q(x) y R(x) o Q(x) y R(x)?

Según tengo entendido debo tomar los valores T o F para Q(x) y R(x). Así que a partir de ahora averiguo los posibles valores de verdad de la afirmación tomando una variedad de combinaciones de valores de verdad de Q(x) y R(x).

Entonces Q(x), R(x): (T,T),(T,F),(F,T),(F,F)

Aquí es donde está mi problema, si no hubiera el símbolo cuantificador "" por aquí podría resolverlo fácilmente pero no entiendo la pregunta con los cuantificadores de por medio. Agradecería cualquier ayuda. ¡Gracias!

Answer 1

Observe que el ámbito de las variables cuantificadas es diferente. De hecho, una declaración equivalente es: $$ (\exists x ~ Q(x) \land \exists y ~ R(y)) \leftrightarrow \exists z ~ (Q(z) \land R(z)) $$

Ahora debería ser más fácil ver por qué esta afirmación puede ser falsa. Por ejemplo, supongamos que nuestro universo es el conjunto de todos los números enteros y supongamos que definimos los siguientes predicados para todos $n \in \mathbb Z$ : $$ Q(n): n \text{ is even} \\ R(n): n \text{ is odd} $$ Entonces $\exists x ~ Q(x)$ es verdadera (tome $x = 2$ ) y $\exists y ~ R(y)$ es verdadera (tome $y = 3$ ), pero $\exists z ~ (Q(z) \land R(z))$ es falso (ningún número entero es par e impar al mismo tiempo).

Answer 2

Es cierto que $ \exists x (Q(x) \wedge R(x))\rightarrow (\exists xQ(x) \wedge \exists xR(x))$ . Esto se debe a que $$ Q(x) \wedge R(x) \rightarrow Q(x) $$ $$ Q(x) \wedge R(x) \rightarrow R(x) $$ Eso significa que $$ \exists x( Q(x) \wedge R(x)) \rightarrow \exists x Q(x) $$ $$ \exists x (Q(x) \wedge R(x)) \rightarrow \exists x R(x) $$ Por lo tanto $$ \exists x (Q(x) \wedge R(x))\rightarrow (\exists xQ(x) \wedge \exists xR(x))$$

Sin embargo $ (\exists xQ(x) \wedge \exists xR(x)) \not\rightarrow \exists x (Q(x) \wedge R(x))$ . Por ejemplo, puede tener $R(x) = \neg Q(x)$ donde Q(x) es una sentencia que es verdadera para algún $x$ pero no es cierto para algún otro.