Soluciones polinómicas a $ax^4+bx^2+c^2 = y^2$ con $a,b,c$ como polinomios

Question

Mientras investigaba un sistema relacionado con " sumas iguales de potencias iguales ", apareció una curva elíptica,

$$9 (1 + 4 n^4)^2 + 30 (4 + n^2 - 24 n^4 + 4 n^6) x^2 + 5 (32 - 40 n^2 + 53 n^4) x^4 = y^2$$

Algunos puntos racionales fáciles son,

$$x = (0,\; 1,\; n)$$

Utilizando el método del acorde tangente, a partir de los dos últimos, obtenemos,

$$\; x = \frac{6 (1 + 4 n^4) (17 + 12 n^2)}{151 - 49 n^2 + 144 n^4 + 144 n^6}$$ $$x = \frac{\; 6 (1 + 4 n^4) (3n + 23 n^3)}{9 + 9 n^2 - 79 n^4 + 121 n^6}$$

Pregunta: Pero, ¿existen puntos racionales en los que el numerador y el denominador sean polinomios de grado inferior a 6, preferiblemente sólo cuadráticos?

Answer 1

Mirando un montón de ejemplos, parece que tu curva (que es isomorfa a una curva elíptica) tiene rango $2$ en $\mathbb{Q}(n)$ . Utilizando esto, se pueden encontrar otros puntos racionales de grado $\leq 6$ pero no cuando el numerador o el denominador son cuadráticos. En particular, hay soluciones cuando $$ x = \frac{12 n^{4} + 3}{12 n^{3} \pm 23n^{2} + 17n \pm 3}. $$