¿Debería un neutrón caer más rápido que un protón?

Question

Si dejas caer un protón y un neutrón en un campo gravitatorio, ambos caen, pero el protón tiene una carga y las cargas aceleradoras irradian energía, por lo que queda menos energía cinética para el protón y, por este razonamiento, debería caer más despacio que un objeto sin carga.

La cuestión se discute, pero no en los términos anteriores, en el libro de Peierls "Surprises in Theoretical Physics" en el capítulo "radiation in hyperbolic motion", pero no entendí el capítulo lo suficientemente bien (o en absoluto) como para aplicarlo a mi versión de la pregunta. Peirls también hace referencia al libro de Relatividad de Pauli (sección 32 gamma), pero aunque Pauli afirma que no hay radiación en el movimiento hiperbólico uniforme, sí dice que hay radiación cuando dos movimientos rectilíneos uniformes están conectados por una porción de movimiento hiperbólico. Así que entiendo que eso significaría que un protón en reposo que cae durante un segundo y luego se ve obligado de alguna manera a mantener su velocidad recién adquirida hacia abajo de la caída sin acelerar más habría radiado.

Answer 1

Esta pregunta es un tanto académica - y ha sido controvertida - pero la respuesta más correcta es No, no debería.

Es académico porque la fuerza electrostática entre dos protones es de aproximadamente $10^{36}$ veces más fuerte que la gravedad entre ellos. En realidad, un protón polarizará cualquier conductor en el suelo y éste se verá atraído por una fuerza electrostática mucho mayor.

Pero si se garantiza que tales efectos no existen, entonces los protones y los neutrones -así como todo lo demás- caen exactamente por la misma aceleración. Esto se deduce del principio de equivalencia. Este principio es mucho más general de lo que la mayoría de la gente cree. En un ascensor que cae libremente, no hay forma de averiguar si el ascensor está cayendo libremente en un campo gravitatorio, o en el espacio exterior vacío sin campo gravitatorio. Diferentes aceleraciones seguramente nos permitirían distinguir los dos casos y eso chocaría con el principio de equivalencia.

Normalmente no tenemos que preguntarnos "en qué marco son válidas las ecuaciones de Maxwell". ¿Son más válidas en un marco sujeto al suelo o en un marco de caída libre? La diferencia es mínima porque las aceleraciones inducidas por el electromagnetismo suelen ser mayores que las gravitatorias. Por supuesto, siempre hay que añadir la fuerza gravitatoria. Pero, por ejemplo, para los protones en el LHC, la gravedad es despreciable para los protones.

Pero estás preguntando por un "efecto mixto" que requiere tanto electromagnetismo como gravedad. Y una forma más limpia de describirlo es utilizar el marco de caída libre. En ese marco, el tensor métrico es lo más plano posible, y las aceleraciones del protón y del neutrón coinciden. De hecho, incluso en un cilindro muy alto pero delgado observado durante un tiempo muy largo, siempre se puede establecer la métrica más o menos constante, hasta términos que llegan a cero cuando el cilindro es realmente delgado.

Así que, clásicamente, el campo alrededor del protón que cae puede obtenerse en el marco de caída libre, con una enorme precisión, y será sólo un campo de un protón estático - en este marco. Por supuesto, si el campo de un protón estático se observa desde otro marco, por ejemplo, relativamente acelerado, puede parecer diferente. Pero no habrá ninguna pérdida real de energía que permita que las dos aceleraciones diverjan.

Si se intentara calcular "cuánta energía" se supone que irradia el protón, fallarían los métodos habituales que están disponibles en el espacio plano. En el espacio plano, se suele "fijar" la partícula cargada a la región en el infinito y resolver las ecuaciones de Maxwell con una fuente. Sin embargo, todas estas ecuaciones se ven afectadas por la existencia del campo gravitatorio, que se debilita a medida que nos alejamos de la Tierra. Debido a este debilitamiento de la gravedad, y a los términos por los que la gravedad influye en el electromagnetismo, descubrirás que la radiación es cero en el marco de caída libre.

Mecánica cuántica, hay que tratar con la radiación Unruh, etc. Los marcos que se aceleran relativamente entre sí tienen ideas diferentes de lo que es el estado básico (vacío). Así que una partícula en aceleración podría interactuar con los cuantos de Unruh. Esta es otra sutileza adicional. Estoy seguro de que todas las mediciones reales del tiempo necesario para caer etc. tienen que coincidir para protones y neutrones, incluso incluyendo $\hbar$ correcciones cuánticas.

Answer 2

Sí, debería.

Hay muchas sutilezas implicadas en algunas cuestiones como ésta (vea algunos artículos de Stephen Parrott disponibles en arxiv.org si quiere empezar a indagar en esto), pero afortunadamente en este caso concreto la respuesta está clara.

La forma más fácil de verlo es aplicar la conservación de la energía, como tú dices. No hay duda de que, mucho después de que el protón haya caído, la radiación se escapa hacia el infinito, llevando energía consigo. Esa energía sólo puede proceder de la energía mecánica del protón.

No es necesariamente el caso que la aceleración de la partícula cargada sea menor que $g$ durante toda su caída. La diferencia de aceleración sólo puede producirse durante las "sacudidas" que se producen al principio y al final de la caída. De hecho, eso es lo que predice la ecuación de Lorentz-Dirac (lo más parecido que hay a una ecuación estándar para la reacción de radiación en una carga puntual acelerada). El protón tarda un poco más en ponerse en marcha, acelera a $g$ durante un rato, y se detiene cuando toca el suelo. La diferencia en lo que les ocurre a las partículas cargadas y no cargadas durante las fases inicial y final puede explicar la diferencia de energía.

La ecuación de Lorentz-Dirac tiene todo tipo de problemas, pero en este caso concreto sus predicciones son cualitativamente correctas. Todos los problemas provienen de tratar la carga que cae como un punto matemático, pero si la tratamos como una pequeña esfera (¡como es el protón!) de radio mucho menor que cualquier otra escala de longitud del problema, la ecuación de LD es una buena aproximación a la ecuación correcta del movimiento.

Answer 3

La respuesta depende del estado inicial del campo electromagnético alrededor del protón. No puede ser cero en todas partes porque el protón tiene carga.

Por supuesto, el campo electromagnético afectaría a la trayectoria del protón y determinaría si cae más rápido o más lento que el neutrón.

Como no ha especificado cuál es ese campo, la pregunta está incompleta y no puede responderse.

Answer 4

Además de mi respuesta original, he esparcido fragmentos de una argumento a través de diversos comentarios en este hilo, pero no me Creo que no los he enlazado muy claramente. Y lo que es más importante, creo que he cometido algunos errores. Voy a intentar decir lo que creo que es cierto y justificarlo más cuidadosamente de lo que lo he hecho.

Considera la situación en la que inicialmente sostienes un protón y neutrón en reposo (respecto a la Tierra), los dejas caer y los atrapas una cierta distancia. Estoy esencialmente que el protón cae más despacio que el neutrón, en el sentido siguiente sentido específico: la velocidad del protón justo antes que lo atrapes será menor que la velocidad del neutrón (y también el protón llegará más tarde que el neutrón).

He aquí por qué. Incluso si el protón no irradia durante la mayor parte de su caída, sí irradia durante un breve período justo cuando lo dejas caer lo dejas caer.

Antes de intentar convencerte de que esta última afirmación es cierta, permítanme señalar que ciertamente no hay ningún principio de equivalencia basado en contra. Como mucho, el principio de equivalencia dice que durante el tiempo que la partícula está en caída libre, no debería irradiar. Pero no dice nada sobre lo que ocurre durante la transición de no caída libre a la caída libre.

Teniendo esto en cuenta, me parece claro que la carga de la prueba recae sobre cualquiera que diga que hay no radiación durante el transición. Al fin y al cabo, tenemos una carga que experimenta un movimiento brusco. En ausencia de un argumento del principio de equivalencia, la suposición por defecto por defecto sería que irradia.

Eso no es una prueba, por supuesto. Una cosa que contaría como una sería calcular los campos y determinar el flujo radiado. irradiado. Esto sería difícil de hacer en la Tierra de Schwarzschild completa. Schwarzschild, pero un cálculo en el espaciotiempo plano, sustituyendo observadores en reposo respecto a la Tierra por observadores acelerados (Rindler), no sería difícil. hacerlo, probablemente empezaría con el formalismo básico establecido en un reciente artículo que acabo de descubrir de Maluf y Ulhoa .

[Uno podría preguntarse si tal sustitución de Schwarzschild-Rindler estaría justificada. Me limitaré a decir que la diferencia entre ambas son simplemente las fuerzas de marea, y no veo ninguna razón para que sean relevantes en esta situación. Si quieres, cambia la masa y el radio de la Tierra para hacerlos mucho mayores, manteniendo $g$ constante. Eso debilita aún más las fuerzas de marea, pero es muy poco plausible, al menos para mí, que tenga que ver con la cuestión de la radiación].

Pero incluso sin hacer tal cálculo, estoy seguro de que hay radiación durante el periodo de sacudidas. La razón es que la fuerza de reacción se puede demostrar que no es nula durante este periodo. La fuerza de reacción de radiación es problemática para cargas puntuales, pero si modelamos el protón como una pequeña esfera de carga (que, después de todo, con un radio mucho menor que cualquier otra escala de longitud del problema. escala de longitud en el problema, entonces el cálculo de la fuerza de reacción a la radiación es sencillo. Puedes buscar cómo hacerlo en Jackson, y hay un montón de literatura más reciente. En concreto, Rohrlich tiene muchos artículos sobre el tema, pero la monografía de Yaghjian es la referencia más completa. De todos modos, la conclusión es completamente inequívoca: la fuerza de reacción a la radiación es distinta de cero durante la sacudida.

Permítanme concluir con un mea culpa En algunos de mis comentarios anteriores creo que dije que había radiación incluso durante una fase de aceleración constante constante (aunque entonces desaparecía la fuerza de reacción de la radiación). Estoy bastante bastante seguro de que estaba equivocado. (Mi creencia no era tan estúpida como podría parecer. podría parecer: esa combinación de radiación sin reacción de radiación es precisamente lo que ocurre cuando una carga acelera uniformemente en espacio de Minkowski. Parece una paradoja, pero no lo es).

Answer 5

Esta es una pregunta muy buena. Pensamos que por el principio de equivalencia el protón y el neutrón deberían caer a la misma velocidad. Esta es una buena aproximación a la situación. Sin embargo, el principio de equivalencia es válido para un marco inercial local en una pequeña región del espacio. Dentro de esa región el campo eléctrico de la carga que cae es un bonito campo radialmente simétrico. Sin embargo, las líneas de campo no terminan ahí. Se extienden por todo el espacio y atraviesan el espacio curvo o espaciotiempo. A medida que la carga se acerca a un campo gravitatorio radialmente simétrico, las líneas de campo se ajustan a la curvatura. Esto significa que la partícula cargada estará asociada a un campo eléctrico y magnético cambiante.

Los elementos del campo eléctrico y magnético $F_\mu~=~F_{\mu\nu}U^\nu$ . La constancia covariante del campo EM $\nabla^\mu F_{\mu\nu}~=~0$ se utiliza para derivar $d^2F_\mu/ds^2$ con respecto a cierta separación de la carga de otro punto geodésico --- que puede estar en $\infty$ . El resultado es entonces un cálculo de $d^2U^\nu/ds^2$ con la ecuación de desviación geodésica. A continuación, se equipara a las segundas derivadas de los campos $F_\mu$ lo que significa que se emite radiación. Se trata de un proceso de atenuación.

Este argumento es "aproximado", ya que la atenuación actúa como una aceleración, lo que la desvía de una desviación geodésica pura. Lo elaboré con bastante detalle hace unos años en respuesta a una discusión sobre este asunto. El análisis se complica bastante. Sin embargo, el resultado es que la respuesta del campo EM a la caída del protón actuará como una especie de "viscosidad" que lo ralentiza.

Adenda:

Todo lo que hay que hacer es utilizar la ley de Larmor $P~=~\mu e^2a^2/6\pi c$ e introduzca la aceleración a = -GM/r^2 para la gravitación newtoniana. Un poco de pensamiento newtoniano ilustra cómo un campo gravitatorio puede tirar de una carga e inducir una radiación. La potencia de radiación $P~=~\int F\cdot dv$ $=~\int Pdt$ da una ley de fuerza de radiación (Abraham-Lorentz) $F~=~\mu e^2{\dot a}/6\pi c$ . Un resultado relativista debería recuperar un resultado newtoniano. Esta fuerza de radiación es la resistencia que experimenta una carga debido a la emisión de radiación. La derivada temporal de la aceleración depende claramente de la variación de la distancia radial de la carga al cuerpo gravitatorio.