Determinación de la convergencia de integrales impropias?

Question

Así que se da que

$g(x)$ y $h(x)$ son ambos mayores que $0$ para todos $x$ valores

$\displaystyle\int_1^\infty g(x)dx$ converge,

$\displaystyle\int_0^1 g(x)dx$ diverge, y

$e^{-x} \le h(x) \le \frac{1}x{}$ para todos $x$ en $(0,\infty)$ .

Teniendo esto en cuenta, ¿cómo podemos saber que

$\displaystyle\int_1^\infty g(x)h(x)dx$ converge, y

$\displaystyle\int_0^1 g(x)h(x)dx$ diverge?

Answer 1

\begin{equation} \int_1^{\infty} h(x)g(x) \leq \int_1^{\infty} \frac{g(x)}{x} \leq \int_1^{\infty} g(x) < \infty \end{equation}

y

\begin{equation} \int_0^{1} h(x)g(x) \geq\int_0^{1} g(x) e^{-x} \geq \int_1^{\infty} g(x)\frac{1}{e} \end{equation}

que diverge.