Compute $E(|X-Z|)$ .

Question

Sea $X$ sea una variable aleatoria distribuida uniformemente en [0,20]. Defina una nueva variable aleatoria $Z$ por $Z= [X+.5 ]$ (el mayor número entero de $X$ ). Hallar el valor esperado de $Z$ . Calcule $E(|X-Z|)$ .

Intento:

He intentado configurar la integral $$\int_{0}^{20}\frac 1 {20}\,dx,$$ desde que descubrí que estaba uniformemente distribuida en $[0,1]$ . Además, pensaba que la función de distribución sería $\dfrac 1 {20}$ . A continuación, utilicé la fórmula $E(|X-Z|)=E(X)-E(Z)$ , He descubierto que $E(X)=10$ , después de hacer el cálculo, entonces tomé la integral $$\int_{0}^{20}(X^2+.5X)dx,$$ pero fue incapaz de encontrar la respuesta correcta.

Answer 1

En primer lugar, $E(|X-Z|) \ne E(X)-E(Z).$ Tenemos $E(X-Z) = E(X)-E(Z)$ pero eso no lo implica para el valor absoluto. No vuelvas a decir o pensar eso.

En segundo lugar, parece que has multiplicado erróneamente por un factor extra de $x$ en la integral. Esto fue probablemente motivado por el hecho de que se multiplica la densidad $p(x)$ por $x$ e integrar para obtener el valor esperado de $x$ . Pero $(X+.5)$ no es la densidad... es la cosa de la que estás tomando el valor esperado... así que sólo tienes que ponerlo en la integral, multiplicar por la densidad $(1/20$ en este caso) e integrar.

Por lo tanto, la expresión deseada es $$ E(|X-Z|) = E(|X-[X+.5]|) = \frac{1}{20}\int_0^{20} |x-[x+.5]|dx$$

Ahora se trata de averiguar cuál es el valor esperado. Para ello sugiero averiguar cómo es el integrando.

Suponiendo que los paréntesis signifiquen parte entera, $[X+.5]$ es más o menos $X$ redondeado al número entero más próximo. A continuación, $|X-[X+.5]|$ es la distancia entre $X$ y su entero más próximo. Puede ser tan pequeño como $0$ o tan grande como $.5$ y se mueve hacia arriba y hacia abajo de forma ordenada como $X$ cambios.

A partir de esta información, es de esperar que puedas dibujar un gráfico del integrando y averiguar cuál es su valor medio. A partir del gráfico debería estar relativamente claro cuál es el valor medio, pero también puedes obtenerlo haciendo la integral.

Answer 2

Humor mi capricho y escribir $X=1/2 + k +\theta$ donde $k$ es un número entero y $\theta\in[0,1)$ . Entonces $[X+1/2] = k+1$ y $X-[X+1/2] = \theta-1/2$ . Ahora observe que el valor de $X-[X+1/2]$ depende únicamente de la parte fraccionaria de $X+1/2$ . Cuando $X$ se extiende uniformemente sobre $[0,20]$ la cantidad $\theta$ varía uniformemente en $[0,1]$ y $X-[X+1/2]$ se extiende uniformemente sobre $[-1/2,1/2]$ . ¿Puedes terminar desde ahí?