Eche un vistazo a este documento por Sirvent y Wang. No es elemental, pero define el proceso de forma bastante completa con un ejemplo trabajado. En particular, el espacio de contratación ${\mathbb H}_c$ está claramente definida. En la diapositiva 3 de la presentación, simplemente dice que ${\mathbb H}_c$ está "generada por los vectores propios de $\beta$ Conjugados de Galois". (Por supuesto, se trata de una presentación, así que tal vez podamos disculpar la brevedad.) La parte relevante del artículo es la denominada mapa de valoración $E$ que acepta cadenas y devuelve números complejos. La imagen de la órbita de la palabra fija es exactamente el fractal de Rauzy.
Supongamos, por ejemplo, que se trata de la sustitución $$1\to 12, \: 2\to 13, \: 3\to 1.$$ Esto tiene matriz de incidencia $$ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) $$ uno de cuyos vectores propios es aproximadamente $$\omega = \langle \omega_1, \omega_2, \omega_3 \rangle =\langle -0.412 + 0.61 i, 0.223 - 1.12i, 1\rangle.$$ El conjugado complejo de $\omega$ también es un vector propio; el vector propio restante corresponde a un valor propio real y no es relevante.
Dada una palabra finita $U$ deje $|U|_i$ denotan el número de apariciones del símbolo $i$ en $U$ . Entonces, según la ecuación 3 del documento, la valoración $E$ se define por $$E(U) = \sum_{i=1}^3 |U|_i \omega_i.$$ Tenga en cuenta que el $\omega_i$ s son simplemente las componentes del vector $\omega$ y tienen valores complejos. Así que claramente, $E(U)$ es un número complejo.
Ahora, la palabra fija para esta sustitución comienza algo así:
12131211213121213121121312131211213121213121121312112131212131211213121312112131212131
Por supuesto, los primeros términos de la órbita de esta palabra finita bajo el operador de desplazamiento son
12131211213121213121121312131211213121213121121312112131212131211213121312112131212131
2131211213121213121121312131211213121213121121312112131212131211213121312112131212131
131211213121213121121312131211213121213121121312112131212131211213121312112131212131
31211213121213121121312131211213121213121121312112131212131211213121312112131212131
Si aplicamos el mapa de valoración a cada uno de ellos, obtenemos puntos en el plano complejo. Si partimos de una aproximación mucho más larga a la palabra fija y realizamos el proceso para muchos puntos de la órbita, obtenemos una buena aproximación al fractal rauzy. Incluso obtenemos una descomposición del fractal rauzy examinando aquellos términos de la órbita que empiezan por 1, 2 ó 3.
Ese es exactamente el proceso que utilicé para generar lo siguiente:
![enter image description here]()
