Demostrar que un conjunto de matrices es abierto

Question

Sea $M_n$ sea el conjunto de $n\times n$ matrices reales, identificadas con $L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$ de la forma habitual. Sea $U \subset M_n$ sea el subconjunto $$U = \{ X \in M_n | I-X \text{ is invertible} \}$$

Demuestra que $U$ es un subconjunto abierto de $M_n$ y contiene $V = \{X | \ ||X|| < 1\}$ donde $||\cdot||$ es la norma del operador.

Hasta ahora la única forma que he conseguido es demostrar que $M_n$ es completa, entonces "Adivina" la inversa de $I-X$ como $I+X+X^2+\cdots$ y demuestre que converge cuando $||X|| < 1$ así que $V \subset U$ . A continuación, utilice esto para demostrar que el conjunto de matrices invertibles es abierto y luego aplicar el homeomorfismo $f(X) = I-X$ mostrar $U$ está abierto.

Como puedes ver es muy complicado, esta pregunta es sólo una pequeña sección de una pregunta más larga diseñada para hacerse en 30 minutos, así que probablemente me estoy perdiendo una forma mucho más fácil de resolver el problema. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

La función determinante es continua. Pero observe $U$ es el conjunto $\{X \in M_n \mid \det(I - X) \neq 0\}$ que puede escribirse $\det^{-1}(\mathbb{R} \setminus \{0\})+I$ que es un conjunto abierto.

Answer 2

Boceto:

• Si escribimos $$ X=\begin{bmatrix}x_{11}&\dots&x_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\x_{n1}&\dots&x_{nn}\end{bmatrix}, $$ then $$ \det(I-X)=\det\begin{bmatrix}1-x_{11}&\dots&-x_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\-x_{n1}&\dots&1-x_{nn}\end{bmatrix} $$ es un polinomio en el $x_{ij}$ (utilice la expansión cofactor/grupo simétrico) de modo que el determinante sea continuo en las entradas de la matriz $X$ . Por lo tanto, la preimagen de $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ es un conjunto abierto (y el conjunto abierto es $U$ ).

• Para la segunda parte, observe que $I-X$ no es invertible es lo mismo que $X$ tiene un valor propio de $1$ . La condición de que $\|X\|<1$ implica que todos los valores propios de $X$ tienen norma menos de $1$ .