Es $R/bR$ reducido si $R$ se reduce y $\operatorname{Ann}(b)$ es un primo mínimo de $R$ ?

Question

Sea $R$ sea un anillo reducido noetheriano. Sea $P = \operatorname{Ann}_R(b)$ con $b \in R$ sea un primo mínimo de $R$ .

¿Implica esto que $R/bR$ se reduce?

Por supuesto, la propiedad en cuestión es equivalente a $bR$ ser radical.

Considerando anillos de coordenadas de curvas afines sobre un campo $k$ tenemos por ejemplo $R = k[x,y]/(fgh)$ donde $f,g,h \in k[x,y]$ son irreducibles. Entonces $R$ se reduce. Los primos mínimos de $R$ vienen dadas por $$P_1 = (f) = \operatorname{Ann}_R(gh),\quad P_2 = (g) = \operatorname{Ann}_R(fh),\quad P_3 = (h) = \operatorname{Ann}_R(fg).$$

Ahora para $P = P_1= (f)$ tenemos $b = gh$ y $R/bR \cong k[x,y]/f$ que se reduce ya que $f$ era irreducible.

Ahora tengo curiosidad por saber si esto se generaliza. Para mí es como una de esas preguntas generales que dice así ¿Qué podemos decir en general sobre este tipo de $b \in R$ con $\operatorname{Ann}_R(b)$ un primo mínimo de $R$ ? Por ahora, me preocupa la pregunta anterior.

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $R$ es un dominio, entonces para todo $b \in R$ , $b\ne 0$ , $\operatorname{Ann}_R(b) = 0$ que es un primo mínimo de $R$ pero no todos los anillos factoriales de un dominio se reducen.

En concreto $R = \Bbb Z$ , $b = 4$ . Entonces $\operatorname{Ann}_R(b) = 0$ pero $\Bbb Z/4\Bbb Z$ no se reduce.