Límite de la función como $x \to\infty $ cuando $f'(x)$ se da

Question

Sea $f:[1,\infty)\rightarrow \mathbb R $ es una función diferenciable que satisface $$f'(x)=\frac {1}{x^2+(f (x))^2} \text{ and } f(1)=1$$ entonces encuentre el límite de $f $ como $x \to\infty $

Mi intento : Así que primero pensé en hacer una ecuación diferencial y luego calcular el límite. Pero la ecuación diferencial formada $y'(y^2+x^2)=1$ es una ecuación no estándar y no se puede resolver. Incluso las calculadoras de Internet muestran que "no se ha encontrado solución". Sin embargo, Wolfram Alpha proporciona un gráfico, pero no la solución.

También $f^{\prime\prime}(x)<0$ . ¿Se puede utilizar este hecho de alguna manera?

A continuación he pensado en utilizar el teorema de Rolle, pero soy incapaz de encontrar la forma de utilizarlo.

¿Puede alguien darme alguna idea sobre cómo enfocar este problema?

Answer 1

La función inversa cumple $$x'(f)=x(f)^2+f^2$$ que es una ecuación clásica de Riccati. El polo de su solución será el límite que buscas.

Se puede encontrar una solución en términos de funciones de Bessel:

• Ecuación diferencial de Riccati $y'=x^2+y^2$

Puede probar varias estimaciones con métodos como en

• Riccati D.E., asíntotas verticales
• $ y' = x^2 + y^2 $ asíntota

o puedes calcular una solución numérica.

Answer 2

En $f'\left(x\right) >0, f\left(x\right)$ es una función creciente, por lo que tenemos, para $t>1,f\left(x\right)>f\left(1\right)=1$ Por lo tanto, para $ t>1$ ,

$$f'\left(t\right)=1+\int_{1}^xf'\left(t\right) dt$$

$$<1+\int_{1}^x\frac{1}{t^2+1} dt$$

$$<1+\int_{1}^{\infty}\frac{1}{t^2+1} dt$$ $$=1+\frac{\pi}{4}$$ ;

por lo tanto, $\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)$ existe y es, a lo sumo, $$1+\frac{\pi}{4}$$