Conmutadores del producto tensorial de las matrices de Pauli

Question

Dado el producto tensorial de las matrices de Pauli de rango 2 $\sigma^a$. Cada $\sigma^a$ está relacionada con el generador del álgebra de Lie SU(2).

Sabemos que satisfacen

$$[\sigma^a, \sigma^b ] = 2 i \epsilon^{abc} \sigma^c$$

¿Conoces alguna igualdad/identidad para simplificar: $$ [\sigma^a \otimes \sigma^c, \sigma^b \otimes \sigma^d] = ? $$ también $$ [\sigma^a \otimes \sigma^c \otimes \sigma^e, \sigma^b \otimes \sigma^d \otimes \sigma^f] = ? $$ $$ [\sigma^a \otimes \sigma^c \otimes \sigma^e \otimes \sigma^g, \sigma^b \otimes \sigma^d \otimes \sigma^f \otimes \sigma^h] = ? $$ para que las respuestas finales no tengan conmutadores?

El conmutador se define por defecto como $$ [A,B]:=AB-BA $$

Answer 1

Si revisas el Producto de Kronecker verás que tiene la propiedad de producto mixto:

$$ (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {AC} )\otimes (\mathbf {BD} ). $$

Usando esta propiedad y el hecho de que $$ \sigma^a\sigma^b = \delta_{ab}I+i\epsilon_{abc}\sigma^c $$ puedes expandir el producto $(\sigma^a \otimes \sigma^c)(\sigma^b \otimes \sigma^d)$ como

\begin{align} (\sigma^a \otimes \sigma^c)(\sigma^b \otimes \sigma^d) &= (\sigma^a\sigma^b)\otimes(\sigma^c\sigma^d) \\ &= (\delta_{ab}I+i\epsilon_{abe}\sigma^e)\otimes(\delta_{cd}I+i\epsilon_{cdf}\sigma^f) \\ &=\delta_{ab}\delta_{cd}I+i\epsilon_{abe}\delta_{cd}(\sigma^e\otimes I)+i\epsilon_{cdf}\delta_{ab}(I \otimes \sigma^f)-\epsilon_{abe}\epsilon_{cdf}(\sigma^e\otimes\sigma^f). \end{align}

Dado que los primeros y últimos términos en esta expresión son simétricos cuando los índices $ab$ y $cd$ se permutan, el primer conmutador que pides se simplifica a

$$ [\sigma^a \otimes \sigma^c, \sigma^b \otimes \sigma^d] = 2i\epsilon_{abe}\delta_{cd}(\sigma^e\otimes I)+2i\epsilon_{cdf}\delta_{ab}(I \otimes \sigma^f). $$

Observa que los dos términos son mutuamente excluyentes ya que si $\delta_{cd}=1$, entonces $\epsilon_{cdf}=0$, y viceversa para el par de índices $ab$.

Answer 2

También se puede derivar la expresión realmente útil para este tipo de cosas:

$$ [a_1\otimes a_2,b_1\otimes b_2]= [a_1,b_1]\otimes\{a_2,b_2\}+\{a_1,b_1\}\otimes[a_2,b_2]\ $$ y $$ \{a_1\otimes a_2,b_1\otimes b_2\}= \{a_1,b_1\}\otimes\{a_2,b_2\}+[a_1,b_1]\otimes[a_2,b_2]\ $$

Lo cual se puede aplicar recursivamente al lado derecho si se tienen más productos tensoriales, por ejemplo si $a_1$ y $b_1$ también son productos tensoriales de algo más:

$$ [a_1,b_1] = [a_{11}\otimes a_{12},b_{11}\otimes b_{12}] $$ y $$ \{a_1,b_1\} = \{a_{11}\otimes a_{12},b_{11}\otimes b_{12}\} $$

Si prefieres escribir conmutadores de productos tensoriales como productos tensoriales de conmutadores.