Álgebra lineal - dirección de la pelota tras rebotar en un plano

Question

En un sistema ortonormal, se lanza una pelota desde un punto =(2,6,5) hacia un plano con ecuación =2, de tal forma que después de rebotar en el plano, pasa por el punto =(3,3,7). Cuál es la dirección de la pelota después del rebote.

Esta pregunta ya se ha planteado aquí antes, pero con una respuesta errónea.
Reflexión de una línea a través de un plano: pelota que rebota

Había conseguido resolver el problema hace unas semanas obteniendo la respuesta correcta que es que el vector de dirección de la bola es = (1,-1,0). Pero por alguna razón no recuerdo cómo lo resolví la última vez. Aunque, recuerdo haber sido capaz de encontrar el punto de impacto en el plano, que yo creo que es la clave para resolver el problema.

Por el momento, mi línea de pensamiento es:

El vector normal del plano es (1,0,-1). Podríamos considerar el punto de reflexión en el otro lado del plano que quizás se podría calcular como un múltiplo de la normal del plano que se extiende hasta . La ecuación paramétrica de la recta que pasa por =(2,6,5) y es normal al plano es (x,y,z) = (2,6,5) + t(1,0,-1). => x = 2 + t, y = 6, z = 5 - t. Para un cierto t, esta recta cruzará el plano en cuyo punto debe cumplirse la ecuación del plano, por lo que (2+t) - (5-t) = -2 => t = t = 0,5. Por tanto, cruza el plano en punto M = (2,5,6,4,5), y para el doble de t obtenemos el punto de reflexión = (3,6,4)

A partir de esto pensé que tal vez puedo obtener el vector de dirección de la pelota por = =(0,3,3). Pero sé que está mal. La última vez que construir el vector de dirección por tomando v = Q - 'punto de impacto' me dio la respuesta correcta.

Answer 1

Creo firmemente que su respuesta es correcta y la respuesta dada es incorrecta.

Podemos comprobar la solución dada de la siguiente manera. Si el vector de dirección es $(1,-1,0)$ entonces la trayectoria después del rebote sigue la línea $$ L(t) = Q + t(1,-1,0) = (3 + t,3-t,7). $$ El punto donde la pelota rebotaría del plano satisface $$ (3 + t) - 7 = -2 \implies t = 2 \implies L(t) = (5,1,7). $$ A partir de aquí, ya tenemos un indicio de que algo va mal: la solución $t \geq 0$ implica que chocamos contra el avión después de continuar en el sentido de la marcha y no yendo hacia atrás.

En cualquier caso, la dirección desde el punto $A = (5,1,7)$ a $Q$ es $(-1,1,0)$ y la dirección de $A$ a $P$ es $(2,6,5) - (5,1,7) = (-3,5,-2)$ .

Para que esto tenga sentido físico, el ángulo entre $(-1,1,0)$ y la normal debe ser la mitad del ángulo entre $(-1,1,0)$ y $(-3,5,-2)$ . El primer ángulo viene dado por $$ \cos \theta = \frac{(-1,1,0) \cdot (1,0,-1)}{\sqrt{2}\cdot{\sqrt{2}}} = \frac{-1}{2} $$ así que $\theta = 120^\circ$ que ya es problemático. El otro ángulo satisface $$ \cos \theta = \frac{(-1,1,0) \cdot (-3,5,-2)}{\sqrt{2}\cdot{\sqrt{38}}} = \frac{8}{2 \sqrt{17}}, $$ así que $\theta \approx 14.04^\circ$ . Por lo tanto, nada de la solución tiene sentido.

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Una forma alternativa de encontrar $P'$ :

Observamos que $A = (0,0,2)$ es un punto en el plano; cualquier punto del plano servirá; este punto se calculó estableciendo $x = y = 0$ . Para calcular el punto proyectado $P'$ calcule primero la proyección de $P - A$ sobre la normal del plano como sigue. Sea $n$ denota el vector normal $n = (1,0,-1)$ . La proyección de $P - A$ en el plano viene dada por $$ v = \operatorname{proj}_n (P - A) = \frac{(P - A) \cdot n}{n \cdot n} n = \frac{(2,6,3) \cdot (1,0,-1)}{n \cdot n} (1,0,-1) \\ = \frac{-1}{2}\cdot (1,0,-1) = (-1/2,0,1/2). $$ Desde $P - v$ es la proyección de $P$ en el avión, $P - 2v$ es el reflejo de $P$ a través del avión. Eso es, $$ P' = P - 2v = (2,6,5) - 2(-1/2,0,1/2) = (3,6,4). $$