Una desigualdad: del caso complejo al caso real.

Question

Sea $p\in(1,2]$ y $q\in[2,\infty)$ sea su exponente conjugado, entonces para $z,w\in\mathbb{C}$ se cumple la siguiente desigualdad

$$ \Large \left|\frac{z+w}{2}\right|^q+\left|\frac{z-w}{2}\right|^q\leq\left[\frac{1}{2}\left(|z|^p+|w|^p\right)\right]^{\frac{1}{p-1}}\tag 1. $$

La desigualdad anterior es consecuencia directa de la siguiente desigualdad

Si $1<p\le 2$ y $0\le t\le 1$ entonces $$\Large\left(\frac{1+t}{2}\right)^q+\left(\frac{1-t}{2}\right)^q\le \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t^p \right)^{\frac{1}{p-1}}\tag 2,$$ donde $q=p/(p-1)$ es el exponente conjugado de $p$ .

Pregunta ¿Cómo puedo conseguir $(1)$ en el caso real utilizando la desigualdad $(2)$ ?

Answer 1

$|\frac{z+w}{2}|^q+|\frac{z-w}{2}|^q =|z|^{q} \frac {(1+t)^{q}+(1-t)^{q}} {2^{q}}$ donde $t=|\frac w z|$ . [Tenga en cuenta que $t=\frac w z$ o $t=-\frac w z$ ]. Por lo tanto, $|\frac{z+w}{2}|^q+|\frac{z-w}{2}|^q \leq |z|^{q}(\frac 1 2+\frac 1 2 t^{p})^{2/(p-1)}$ . Sólo hay que poner $t=|\frac w z|$ y trae $|z|^{q}$ dentro.

Answer 2

Observación : Creo que quieres demostrar (1) para números complejos usando (2).

Es fácil demostrar que $$(|z| + |w|)^2 + (|z| - |w|)^2 = |z + w|^2 + |z - w|^2,$$ $$(|z| + |w|)^2 \ge |z \pm w|^2.$$

Sea $f(x) = x^{q/2}$ . Desde $q = p/(p - 1) \ge 2$ , $f(x)$ es convexa en $x\ge 0$ . Utilizando la desigualdad de Karamata, tenemos $$f\Big((|z| + |w|)^2\Big) + f\Big((|z| - |w|)^2\Big) \ge f(|z + w|^2) + f(|z - w|^2)$$ es decir $$(|z| + |w|)^q + \Big||z| - |w|\Big|^q \ge |z + w|^q + |z - w|^q.$$

Por lo tanto, basta con demostrar que $$\left(\frac{|z| + |w|}{2}\right)^q + \left|\frac{|z| - |w|}{2}\right|^q \le \left(\frac{|z|^p + |w|^p}{2}\right)^{1/(p - 1)}.$$

WLOG, supongamos que $|z| \ge |w|$ y $|z| > 0$ . Entonces $|w|/|z| \in [0, 1]$ .

Basta con demostrar que $$\left(\frac{1 + |w|/|z|}{2}\right)^q + \left|\frac{1 - |w|/|z|}{2}\right|^q \le \left(\frac{1 + |w|^p/|z|^p}{2}\right)^{1/(p - 1)}$$ lo que es cierto utilizando (2).