Demuestre que una colección de subconjuntos de aset es un subconjunto de los conjuntos de Borel

Question

Sea $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea una función continua y pongamos

$$ \mathscr{A} = \{ A \subset \mathbb{R} : \; \text{there exists} \; B \in \mathscr{B} \; \; \text{with} \; f^{-1}(B)= A \} $$

Por favor, demuestre que $\mathscr{A} \subset \mathscr{B}$ (El subconjunto de Borel del espacio de dominio $\mathbb{R}$ ).

$$ \mathit{Attempt}:$$

Sea $A \in \mathscr{A}$ y elija $B \in \mathscr{B}$ con $f^{-1}(B) = A $ . Desde $B$ es un conjunto borel (por tanto abierto ) y la continuidad de $f$ implica que $f^{-1}(B) = A$ debe estar abierto. Por lo tanto $\mathscr{A} \subset \mathscr{B} $ .

¿Es correcto?

Pregunta: ¿Es cierto lo contrario?

Answer 1

Su intento no es correcto. Un conjunto de Borel no tiene por qué ser abierto. Por ejemplo, el conjunto $(0,1]$ es Borel en $\mathbb{R}$ pero no abierto.

Sin embargo, tu intento tiene algunas ventajas. Puedes seguir estos consejos:

1) Simplemente tome $B$ sea abierto, en lugar de Borel

2) Utilice el hecho de que el menor $\sigma$ -que contiene todos los subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}$ es el Borel $\sigma$ -álgebra